Dạng 7. Số điểm cực trị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 28
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2021) Cho hàm số$ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và có bảng biến thiên $ f'\left ( { x } \right ) $ như sau:
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x ^ { 3 } } \right | } \right )-3\left | { x } \right | $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta thấy $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x ^ { 3 } } \right | } \right )-3\left | { x } \right | $ là hàm chắn.
Ta chỉ xét $ x>0 $ khí đó hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x ^ { 3 } } \right )-3x $$ \Rightarrow g'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } f'\left ( { x ^ { 3 } } \right )-3 $
Ta có $ g'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } f'\left ( { x ^ { 3 } } \right )-3=0\Leftrightarrow f'\left ( { x ^ { 3 } } \right )=\frac { 1 } { x ^ { 2 } } $.
Đặt $ t=x ^ { 3 } \Rightarrow x=\sqrt[3] { t } $ khi đó ta được:
$ f'\left ( { t } \right )=\frac { 1 } { \sqrt[3] { t ^ { 2 } } } $
Xét hàm số $ h\left ( { t } \right )=f'\left ( { t } \right )-\frac { 1 } { \sqrt[3] { t ^ { 2 } } } $Vì $h'(t)=f''(t)+\frac{2}{3t^{5/3}}>0$ với $t>0$ nên $h(t)$ là hàm đồng biến
Bảng biến thiên của $ h\left ( { t } \right ) $ là
Vậy phương trình $ h\left ( { t } \right )=0 $ chỉ có một nghiệm $ t=a>0 $
Bảng biến thiên của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ khi $ x>0 $ là
Vậy hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
