Cho đường thẳng $\Delta$ và điểm $O$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$ là $OH=1$ (Hình 39). Với mỗi điểm $M$ di động trong mặt phẳng, gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\Delta$. Chứng minh tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $MK^{2} -MO^{2} =1$ là một đường parabol.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ sao cho điểm $O$ trùng với gốc toạ độ và trục $Ox$ trùng với đường thẳng $OH$. Giả sử $M$ có toạ độ $(x;y)$ thì $K$ có toạ độ là $(-1;y)$. Khi đó:$MK^{2} -MO^{2} =1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} [x-(-1)]^{2} +(y-y)^{2} \end{array} ight\}-\left[ (0-x)^{2} +(0-y)^{2} ight]=1 \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+1)^{2} +0^{2} \end{array} ight\}-\left[ x^{2} +y^{2} ight]=1\Leftrightarrow \left( x^{2} +2x+1 ight)-\left( x^{2} +y^{2} ight)=1 \ \Leftrightarrow 2x+1-y^{2} =1\Leftrightarrow y^{2} =2x.$ Vậy tập hợp các điểm $M$ là parabol có phương trình $y^{2} =2x$.

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 26