Bài tự luận · Bài 26
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 26
(Chuyên Vinh 2025) Tìm số nguyên dương $ n $ sao cho $ 1C_{ 2n } ^{ 1 }+2C_{ 2n } ^{ 2 }+3C_{ 2n } ^{ 3 }+\ldots+nC_{ 2n } ^{ n }=2 ^ { 68 } $
Xem lời giải
Lời giải
Đáp án: $ 32 $.
Ta có
$ kC_{ 2n } ^{ k }=k.\frac { 2n! } { k!\left ( { 2n-k } \right )! }=2n.\frac { \left ( { 2n-1 } \right )! } { \left ( { k-1 } \right )!\left ( { 2n-1-k+1 } \right )! }=2n.C_{ 2n-1 } ^{ k-1 } $
$ \Rightarrow 1C_{ 2n } ^{ 1 }+2C_{ 2n } ^{ 2 }+3C_{ 2n } ^{ 3 }+\ldots+nC_{ 2n } ^{ n }= \\ =2n\left ( { C_{ 2n-1 } ^{ 0 }+C_{ 2n-1 } ^{ 1 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2 }+\ldots+C_{ 2n-1 } ^{ n-1 } } \right )= \\ =2n\frac { \left ( { C_{ 2n-1 } ^{ 0 }+C_{ 2n-1 } ^{ 1 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2 }+\ldots+C_{ 2n-1 } ^{ n-1 }+C_{ 2n-1 } ^{ n }+\ldots+C_{ 2n-1 } ^{ 2n-3 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2n-2 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2n-1 } } \right ) } { 2 } \\ =n.2 ^ { 2n-1 } $
Suy ra $ n.2 ^ { 2n-1 } =2 ^ { 68 } \Leftrightarrow 2 ^ { 69-2n } =n\Rightarrow n=32 $.
Ta có
$ kC_{ 2n } ^{ k }=k.\frac { 2n! } { k!\left ( { 2n-k } \right )! }=2n.\frac { \left ( { 2n-1 } \right )! } { \left ( { k-1 } \right )!\left ( { 2n-1-k+1 } \right )! }=2n.C_{ 2n-1 } ^{ k-1 } $
$ \Rightarrow 1C_{ 2n } ^{ 1 }+2C_{ 2n } ^{ 2 }+3C_{ 2n } ^{ 3 }+\ldots+nC_{ 2n } ^{ n }= \\ =2n\left ( { C_{ 2n-1 } ^{ 0 }+C_{ 2n-1 } ^{ 1 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2 }+\ldots+C_{ 2n-1 } ^{ n-1 } } \right )= \\ =2n\frac { \left ( { C_{ 2n-1 } ^{ 0 }+C_{ 2n-1 } ^{ 1 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2 }+\ldots+C_{ 2n-1 } ^{ n-1 }+C_{ 2n-1 } ^{ n }+\ldots+C_{ 2n-1 } ^{ 2n-3 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2n-2 }+C_{ 2n-1 } ^{ 2n-1 } } \right ) } { 2 } \\ =n.2 ^ { 2n-1 } $
Suy ra $ n.2 ^ { 2n-1 } =2 ^ { 68 } \Leftrightarrow 2 ^ { 69-2n } =n\Rightarrow n=32 $.