Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 4
Tìm $m\in\mathbb{R}$ để hàm số $y=mx+\frac1x$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng $\frac2{\sqrt{17}}$.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.
Ta có: $y'=m-\frac1{x^2},x\neq0$.
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.
Với $m>0$ thì $y'=0\Leftrightarrow m-\frac1{x^2}=0\Leftrightarrow x_1=-\frac1{\sqrt m}<x_2=\frac1{\sqrt m}$ và điểm cực tiểu của hàm số là $A\left(\frac1{\sqrt m};2\sqrt m\right)$.
Vì $\lim_{x\to-\infty}\frac1x=\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$ nên $(d):y=mx$ là đường tiệm cận xiên.
$d(A,(d))=\frac2{\sqrt{17}}\Leftrightarrow\frac{\left|m\frac1{\sqrt m}-2\sqrt m\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac2{\sqrt{17}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt m}{\sqrt{m^2+1}}=\frac2{\sqrt{17}}$.
$\sqrt{17m}=2\sqrt{m^2+1}\Leftrightarrow4m^2-17m+4=0\Leftrightarrow m=4$ hoặc $m=\frac14$.
Ta có: $y'=m-\frac1{x^2},x\neq0$.
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.
Với $m>0$ thì $y'=0\Leftrightarrow m-\frac1{x^2}=0\Leftrightarrow x_1=-\frac1{\sqrt m}<x_2=\frac1{\sqrt m}$ và điểm cực tiểu của hàm số là $A\left(\frac1{\sqrt m};2\sqrt m\right)$.
Vì $\lim_{x\to-\infty}\frac1x=\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$ nên $(d):y=mx$ là đường tiệm cận xiên.
$d(A,(d))=\frac2{\sqrt{17}}\Leftrightarrow\frac{\left|m\frac1{\sqrt m}-2\sqrt m\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac2{\sqrt{17}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt m}{\sqrt{m^2+1}}=\frac2{\sqrt{17}}$.
$\sqrt{17m}=2\sqrt{m^2+1}\Leftrightarrow4m^2-17m+4=0\Leftrightarrow m=4$ hoặc $m=\frac14$.