Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 3
Cho hàm số $y=2x+1-\frac1{x+2}$ có đồ thị là $(C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc $(C)$, qua $M$ vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của $(C)$, hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một hình bình hành, chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$.
Gọi $MNIP$ là hình bình hành tạo bởi hai tiệm cận của $(C)$ và hai đường thẳng vẽ từ $M$ lần lượt song song với hai tiệm cận này.
$M\in(C)\Rightarrow M\left(x_0;2x_0+1-\frac1{x_0+2}\right)$.
$\begin{cases}N\in TCX,\\MN\perp Ox\end{cases}\Rightarrow N(x_0;2x_0+1)\Rightarrow MN=|y_M-y_N|=\left|\frac1{x_0+2}\right|$.
Đường thẳng $MN$ qua $M$ và song song với TCĐ nên có phương trình là:
$x-x_0=0\Rightarrow d(I,MN)=|-2-x_0|=|2+x_0|$.
Diện tích của hình bình hành $MNIP$:
$S=MN.d(I,MN)=\left|\frac1{x_0+2}\right||x_0+2|=1$ (hằng số).
Gọi $MNIP$ là hình bình hành tạo bởi hai tiệm cận của $(C)$ và hai đường thẳng vẽ từ $M$ lần lượt song song với hai tiệm cận này.
$M\in(C)\Rightarrow M\left(x_0;2x_0+1-\frac1{x_0+2}\right)$.
$\begin{cases}N\in TCX,\\MN\perp Ox\end{cases}\Rightarrow N(x_0;2x_0+1)\Rightarrow MN=|y_M-y_N|=\left|\frac1{x_0+2}\right|$.
Đường thẳng $MN$ qua $M$ và song song với TCĐ nên có phương trình là:
$x-x_0=0\Rightarrow d(I,MN)=|-2-x_0|=|2+x_0|$.
Diện tích của hình bình hành $MNIP$:
$S=MN.d(I,MN)=\left|\frac1{x_0+2}\right||x_0+2|=1$ (hằng số).