Trên đồ thị $y = 2^x$ có hai điểm $P(a; 2^a), Q(b; 2^b)$ với $0 < a < b$. Gọi $m$ là hệ số góc của đường thẳng $PQ$. Đường thẳng đi qua $P$ có hệ số góc $-m$ cắt trục $Ox, Oy$ tại $A, B$ tương ứng. Đường thẳng đi qua $Q$ có hệ số góc $-m$ cắt trục $Ox$ tại $C$. Biết $AB = 4PB, CQ = 3AB$. Khi đó giá trị của $90 \times (a + b)$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Ta có $\frac{AB}{AP} = \frac{4}{3}$. Từ $P$ hạ đường vuông góc với $Ox$ tại $H_1$, khi đó: $\frac{OB}{H_1P} = \frac{4}{3}$. Từ $Q$ hạ đường vuông góc với $Ox$ tại $H_2$, khi đó: $\frac{OB}{H_2Q} = \frac{1}{3}$. Suy ra: $$ \frac{H_1P}{H_2Q} = \frac{1}{4} \Rightarrow H_2Q = 4H_1P \Leftrightarrow 2^b = 4 \cdot 2^a \Leftrightarrow b = a + 2 $$ Đường thẳng $PQ$ có hệ số góc là: $$ m = \frac{2^b - 2^a}{b - a} = \frac{2^a \Big(2^2 - 1\Big)}{2} = \frac{3 \cdot 2^a}{2} = 3 \cdot 2^{a-1} $$ Vậy đường thẳng $AB: y = -(3 \cdot 2^{a-1})(x - a) + 2^a$, khi đó $OB = |y_B| = 2^{a-1}(3a + 2)$. Từ $\frac{OB}{H_1P} = \frac{4}{3}$, suy ra: $$ \frac{2^{a-1}(3a + 2)}{2^a} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a = \frac{2}{9} \Rightarrow b = \frac{20}{9} $$ Vậy: $$ 90 \cdot (a + b) = 90 \cdot \frac{22}{9} = 220 $$