(Sở Sóc Trăng 2023) Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $|3f^2(2x)-12f(2x)-m|=1$ có ít nhất 7 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-\infty;1)$?
Xem lời giải
Lời giải
+ Đặt $g(x)=3f^2(2x)-12f(2x)-m$.
Ta có $g'(x)=12f(2x)\cdot f'(2x)-24\cdot f'(2x)=12f'(2x)[f(2x)-2]$.
+ Cho $g'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f'(2x)=0\\f(2x)=2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x=-1\\2x=2\\2x=a\in(-\infty;-1)\\2x=b\in(-1;2)\\2x=c\in(2;+\infty)\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-0,5\\x=1\\x=\frac{a}{2}\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\\x=\frac{b}{2}\in\left(-\frac{1}{2};1\right)\\x=\frac{c}{2}\in(1;+\infty)\end{array}\right.$.
+ Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ trên khoảng $(-\infty;1)$.
+ Nếu phương trình $g(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt trên khoảng $(-\infty;1)$, khi đó có 1 nghiệm bội chẵn nên hàm số $y=|g(x)|$ sẽ có 5 cực trị, suy ra phương trình $|g(x)|=1$ sẽ có tối đa 6 nghiệm phân biệt trên khoảng $(-\infty;1)$. Trường hợp này không thoả yêu cầu bài toán.
+ Nếu phương trình $g(x)=0$ có số nghiệm nhỏ hơn 3 trên khoảng $(-\infty;1)$, khi đó số cực trị của hàm số $y=|g(x)|$ nhỏ hơn hoặc bằng 5, suy ra phương trình $|g(x)|=1$ sẽ có tối đa 6 nghiệm phân biệt trên khoảng $(-\infty;1)$. Trường hợp này không thoả yêu cầu bài toán.
Do vậy để phương trình $|g(x)|=1$ có ít nhất 7 nghiệm thuộc khoảng $(-\infty;1)$ thì điều kiện cần là phương trình $g(x)=0$ phải có 4 nghiệm phân biệt.
Khi đó $-12-m<0<-9-m\Rightarrow-12<m<-9$. Vì $m$ nguyên nên $m=-11$ hoặc $m=-10$. Thử lại thấy $m=-11$ và $m=-10$ đều thoả mãn yêu cầu bài toán.
