(THPT Bùi Thị Xuân – Huế - 2022) Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba và có đồ thị $y=f(2-x)$ như hình vẽ.
Hỏi phương trình $\left|f\left(|x^2-2x|\right)\right|=1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Xem lời giải
Lời giải
$f(2-x)=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2-x=a\quad (0<a<1)\\2-x=2\\2-x=c\quad (c>3)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2-a=a_1\quad (1<a_1<2)\\x=0\\x=2-c=c_1\quad (c_1<-1)\end{array}\right.$.
$f(2-x)=-1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2-x=1\\2-x=d\quad (d>c>3)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\x=2-d=d_1\quad (d_1<c_1<-1)\end{array}\right.$.
$\left|f\left(|x^2-2x|\right)\right|=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(|x^2-2x|)=1\quad(1)\\f(|x^2-2x|)=-1\quad(2)\end{array}\right.$.
$f(|x^2-2x|)=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}|x^2-2x|=a_1\quad(3),\quad 1<a_1<2\\|x^2-2x|=0\quad(4)\\|x^2-2x|=c_1,\quad c_1<-1\quad(\text{VN})\end{array}\right.$.
$f(|x^2-2x|)=-1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}|x^2-2x|=1\quad(5)\\|x^2-2x|=d_1,\quad d_1<c_1<-1\quad(\text{VN})\end{array}\right.$.
Dựa vào đồ thị thì (3) có 2 nghiệm phân biệt, (4) có 2 nghiệm, (5) có 3 nghiệm.
Các nghiệm này khác nhau đôi một. Vậy phương trình $\left|f\left(|x^2-2x|\right)\right|=1$ có 7 nghiệm.
