(Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f\left(\left|\sqrt{4-x^2}-|x^2-1|\right|\right)=\frac{1}{2021}$ là?
Xem lời giải
Lời giải
$y=g(x)=f\left(\left|\sqrt{4-x^2}-|x^2-1|\right|\right)$ với $g(x)=\frac{1}{2021}$.
Ta đặt $t=\sqrt{4-x^2},\forall x\in[-2;2]$ thì suy ra $y=g(t)=f\left(\left|t-|t^2-3|\right|\right),\forall t\in[0;2]$.
Suy ra $h(t)=t-|t^2-3|=\left\{\begin{array}{l}t^2+t-3,\quad t\in[0;\sqrt{3}]\\-t^2+t+3,\quad t\in[\sqrt{3};2]\end{array}\right.$.
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $h(t)$ như hình vẽ bên:
Đặt $u=\left|t-|t^2-3|\right|$ thì ta cũng có bảng biến thiên của $u$ như sau:
Nhìn vào đồ thị $y=f(x)$ trên ta có được:
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f(x)=ax^3+bx^2+cx,\quad a\neq0\\f(1)=f(2)=0,\quad f''(1)=0\end{array}\right.\Rightarrow a=\frac{2}{3}>0$.
Như vậy ta suy ra $f(x)=\frac{2}{3}x(x-1)(x-2)$. Mà hàm số đó có cực trị bằng $-\frac{4\sqrt{3}}{9}$ tại $x=x_0$ nên suy ra $f(x_0)=-\frac{4\sqrt{3}}{9}\Rightarrow x_0=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$.
Như vậy: $f(3)=4,f(\sqrt{3})=-0,2,f\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{3}}{9}$.
Từ đó, ta phác họa được đồ thị $y=f(u)$ với $u=\left|t-|t^2-3|\right|$ như sau:
Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình $g(x)=\frac{1}{2021}$ có tất cả 10 nghiệm phân biệt.
