Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 45

Xét phương trình $|f(x^3-3x)|=1$ (1).
Đặt $t=x^3-3x$, ta có bảng biến thiên của hàm số $t=g(x)=x^3-3x$ như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy
+ Với mỗi $t_0>2$ hoặc $t_0<-2$, phương trình $t_0=x^3-3x$ có một nghiệm;
+ Với mỗi $-2<t_0<2$, phương trình $t_0=x^3-3x$ có 3 nghiệm.
Khi đó, (1) trở thành $|f(t)|=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(t)=1\\f(t)=-1\end{array}\right.$.
* TH 1: $f(t)=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=t_1\in(-2;0)\\t=t_2\in(0;2)\\t=t_3\in(2;+\infty)\end{array}\right.$.
+ Với $t=t_1\in(-2;0)\Rightarrow$ phương trình $t_1=x^3-3x$ có 3 nghiệm;
+ Với $t=t_2\in(0;2)\Rightarrow$ phương trình $t_2=x^3-3x$ có 3 nghiệm;
+ Với $t=t_3\in(2;+\infty)\Rightarrow$ phương trình $t_3=x^3-3x$ có 1 nghiệm;
* TH 2: $f(t)=-1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=t_4\in(-\infty;-2)\\t=t_5\in(2;+\infty)\end{array}\right.$.
+ Với $t=t_4\in(-\infty;-2)\Rightarrow$ phương trình $t_4=x^3-3x$ có 1 nghiệm;
+ Với $t=t_5\in(2;+\infty)\Rightarrow$ phương trình $t_5=x^3-3x$ có 1 nghiệm.
Mặt khác, các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phương trình $|f(x^3-3x)|=1$ có 9 nghiệm phân biệt.