Bài tự luận · Bài 1
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 1
(CD11) Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=3x^3-1$ tại điểm $x_0=1$ bằng định nghĩa.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0=1$.
Ta có: $\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=3(1+\Delta x)^3-1-\left( 3.1^3-1 \right)=9\Delta x+9(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3$.
Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9\Delta x+9(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3}{\Delta x}=9+9\Delta x+3(\Delta x)^2$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left[ 9+9\Delta x+3(\Delta x)^2 \right]=9$.
Vậy $f'(1)=9$.
Ta có: $\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=3(1+\Delta x)^3-1-\left( 3.1^3-1 \right)=9\Delta x+9(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3$.
Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9\Delta x+9(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3}{\Delta x}=9+9\Delta x+3(\Delta x)^2$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left[ 9+9\Delta x+3(\Delta x)^2 \right]=9$.
Vậy $f'(1)=9$.