Bài tự luận · Bài 2
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 2
(CD11) Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:
a) $f(x)=x+2$;
b) $g(x)=4x^2-1$;
c) $h(x)=\frac{1}{x-1}$
a) $f(x)=x+2$;
b) $g(x)=4x^2-1$;
c) $h(x)=\frac{1}{x-1}$
Xem lời giải
Lời giải
a) $f'(x)=1$.
b) $g'(x)=8x$.
c) Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x$.
Ta có: $\Delta h=h(x+\Delta x)-h(x)=\frac{1}{x+\Delta x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{-\Delta x}{(x+\Delta x-1)(x-1)}$.
Suy ra: $\frac{\Delta h}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{(x+\Delta x-1)(x-1)}}{\Delta x}=\frac{-1}{(x+\Delta x-1)(x-1)}$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta h}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-1}{(x+\Delta x-1)(x-1)}=\frac{-1}{(x-1)^2}$.
Vậy $h'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$.
b) $g'(x)=8x$.
c) Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x$.
Ta có: $\Delta h=h(x+\Delta x)-h(x)=\frac{1}{x+\Delta x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{-\Delta x}{(x+\Delta x-1)(x-1)}$.
Suy ra: $\frac{\Delta h}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{(x+\Delta x-1)(x-1)}}{\Delta x}=\frac{-1}{(x+\Delta x-1)(x-1)}$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta h}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-1}{(x+\Delta x-1)(x-1)}=\frac{-1}{(x-1)^2}$.
Vậy $h'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$.