Bài tự luận · Bài 3
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 3
(CD11) Chứng minh rằng hàm số $f(x)=\left| x-2 \right|$ không có đạo hàm tại điểm $x_0=2$, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x\neq 2$.
Xem lời giải
Lời giải
Với $x>2$, ta có: $f(x)=\left| x-2 \right|=x-2$. Đạo hàm của hàm số $f(x)=\left| x-2 \right|$ tại điểm $x>2$ là 1.
- Với $x < 2$, ta có: $f(x)=\left| x-2 \right|=2-x$. Đạo hàm của hàm số $f(x)=\left| x-2 \right|$ tại điểm $x < 2$ là -1.
- Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0=2$.
Ta có: $\Delta f=f(2+\Delta x)-f(2)=\left| 2+\Delta x-2 \right|-\left| 2-2 \right|=\left| \Delta x \right|$.
Suy ra: $\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$;
$\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1.$
Do đó, không tồn tại $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$. Vậy hàm số $f(x)=\left| x-2 \right|$ không có đạo hàm tại điểm $x_0=2$, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x\neq 2$.
- Với $x < 2$, ta có: $f(x)=\left| x-2 \right|=2-x$. Đạo hàm của hàm số $f(x)=\left| x-2 \right|$ tại điểm $x < 2$ là -1.
- Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0=2$.
Ta có: $\Delta f=f(2+\Delta x)-f(2)=\left| 2+\Delta x-2 \right|-\left| 2-2 \right|=\left| \Delta x \right|$.
Suy ra: $\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$;
$\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1.$
Do đó, không tồn tại $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$. Vậy hàm số $f(x)=\left| x-2 \right|$ không có đạo hàm tại điểm $x_0=2$, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x\neq 2$.