Bài tự luận · Bài 4
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 4
(CTST11) Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $f(x)=x^2+\sqrt{x}$ với $x>0$;
b) $f(x)=\frac{x}{x-1}$ với $x\neq 1$.
a) $f(x)=x^2+\sqrt{x}$ với $x>0$;
b) $f(x)=\frac{x}{x-1}$ với $x\neq 1$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Với bất kì $x_0>0$, ta có:
$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x^2+\sqrt{x}-\left( x_0^2+\sqrt{x_0} \right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)(x+x_0)+\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\left( x+x_0+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \right)=2x_0+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}.$
Vậy $f'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+\infty)$.
b) Với $x_0\neq 1$, ta có:
$f'\left( x_0 \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x_0}{x_0-1}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-x+x_0}{(x-x_0)(x-1)(x_0-1)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-1}{(x-1)(x_0-1)}=-\frac{1}{(x_0-1)^2}.$
Vậy $f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$ trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x^2+\sqrt{x}-\left( x_0^2+\sqrt{x_0} \right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)(x+x_0)+\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\left( x+x_0+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \right)=2x_0+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}.$
Vậy $f'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+\infty)$.
b) Với $x_0\neq 1$, ta có:
$f'\left( x_0 \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x_0}{x_0-1}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-x+x_0}{(x-x_0)(x-1)(x_0-1)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-1}{(x-1)(x_0-1)}=-\frac{1}{(x_0-1)^2}.$
Vậy $f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$ trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.