Bài tự luận · Bài 5
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 5
(CTST11) Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên $\mathbb{R}$.
a) $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-x+2 & \text{khi } x\leq 2 \\ \frac{1}{x+1} & \text{khi } x>2 \\ \end{array} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2+2x & \text{khi } x\leq 1 \\ \frac{2}{x}+1 & \text{khi } x>1 \\ \end{array} \right.$
a) $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-x+2 & \text{khi } x\leq 2 \\ \frac{1}{x+1} & \text{khi } x>2 \\ \end{array} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2+2x & \text{khi } x\leq 1 \\ \frac{2}{x}+1 & \text{khi } x>1 \\ \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\frac{1}{3}\neq \lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=4$ nên $f$ gián đoạn tại 2, do đó $f$ không có đạo hàm tại 2.
b) Ta có $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=3=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)$ nên $f$ liên tục tại 1.
Ta lại có $\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=4,\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2$.
Suy ra $\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\neq \lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.
Vậy $f$ không có đạo hàm tại 1.
b) Ta có $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=3=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)$ nên $f$ liên tục tại 1.
Ta lại có $\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=4,\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2$.
Suy ra $\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\neq \lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.
Vậy $f$ không có đạo hàm tại 1.