Bài tự luận · Bài 6
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 6
(CTST11) Cho hàm số $y=\sqrt[3]{x}$. Chứng minh rằng $y'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x\neq 0)$.
Xem lời giải
Lời giải
Với $x_0\neq 0$, ta có:
$y'\left( x_0 \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f\left( x_0 \right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{\left( \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0} \right)\left( \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xx_0}+\sqrt[3]{x_0^2} \right)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xx_0}+\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}.$
Vậy $y'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x\neq 0)$
$y'\left( x_0 \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f\left( x_0 \right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{\left( \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0} \right)\left( \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xx_0}+\sqrt[3]{x_0^2} \right)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xx_0}+\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}.$
Vậy $y'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x\neq 0)$