Bài tự luận · Bài 7
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 7
(KNTT11) Cho hàm số $f(x)=x(2x-1)^2$. Tính $f'(0)$ và $f'(1)$.
Xem lời giải
Lời giải
$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}(2x-1)^2=(-1)^2=1$. Để tính $f'(1)$, ta phân tích:
$\begin{array}{ll} f(x)-f(1) & =x(2x-1)^2-1=(x-1)(2x-1)^2+(2x-1)^2-1 \\ & =(x-1)(2x-1)^2+4x(x-1) \\ \end{array}$
Khi đó, $f'(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\left( (2x-1)^2+4x \right)=5$.
$\begin{array}{ll} f(x)-f(1) & =x(2x-1)^2-1=(x-1)(2x-1)^2+(2x-1)^2-1 \\ & =(x-1)(2x-1)^2+4x(x-1) \\ \end{array}$
Khi đó, $f'(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\left( (2x-1)^2+4x \right)=5$.