Bài tự luận · Bài 8
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 8
(KNTT11) Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} (x-1)^2 & \text{nếu } x\geq 0 \\ 1-2x & \text{nếu } x < 0 \\ \end{array} \right.$. Tính $f'(0)$.
Xem lời giải
Lời giải
Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm $x=0$. Ta có $f(0)=1$ và
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{(x-1)^2-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{(x-1-1)(x-1+1)}{x} \\ =\lim\limits_{x\to 0^{+}}(x-2)=-2$
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{(1-2x)-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}(-2)=-2$
Vậy $f'(0)=-2$
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{(x-1)^2-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{(x-1-1)(x-1+1)}{x} \\ =\lim\limits_{x\to 0^{+}}(x-2)=-2$
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{(1-2x)-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}(-2)=-2$
Vậy $f'(0)=-2$