Bài tự luận · Bài 9
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 9
(KNTT11) Tính đạo hàm của hàm số $y=x+\sqrt{x-1}$ tại điểm $x_0=2$.
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định của hàm số là $D=[1;+\infty)$.
Tại điểm $x_0=2,y_0=2+\sqrt{2-1}=3$. Với $1\leq x\neq 2$, ta có:
$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{x+\sqrt{x-1}-3}{x-2}=\frac{(x-2)+(\sqrt{x-1}-1)}{x-2}=1+\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$
Do đó:
$y'(2)=\lim\limits_{x\to 2}\left( 1+\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2} \right)=1+\lim\limits_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=1+\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-1)-1}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=1+\lim\limits_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}=1+\frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}.$
Vậy $y'(2)=\frac{3}{2}$.
Tại điểm $x_0=2,y_0=2+\sqrt{2-1}=3$. Với $1\leq x\neq 2$, ta có:
$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{x+\sqrt{x-1}-3}{x-2}=\frac{(x-2)+(\sqrt{x-1}-1)}{x-2}=1+\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$
Do đó:
$y'(2)=\lim\limits_{x\to 2}\left( 1+\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2} \right)=1+\lim\limits_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=1+\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-1)-1}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=1+\lim\limits_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}=1+\frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}.$
Vậy $y'(2)=\frac{3}{2}$.