Bài tự luận · Bài 10
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa Để tính đạo hàm $f^{′} \left( x_{0}\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_{0}$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_{0}$ là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$. Tính $\Delta y=f\left( x_{0}+\Delta x \right)-f\left( x_{0}\right)$. Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Bước 3. Tính $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Kết luận: Nếu $\mathop{\lim}\limits_{ \Delta x\to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{′} \left( x_{0}\right)=a$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 10
(KNTT11) Tính đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm số $y=\left| x-1 \right|x^2$ tại điểm $x_0=1$.
Xem lời giải
Lời giải
Đạo hàm $y'(1)$ (nếu có) là:
$y'(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{y-0}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}$
Ta cần tính riêng các giới hạn bên phải và bên trái tại điểm 1. Ta có:
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{(x-1)x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x^2=1$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{-(x-1)x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\left( -x^2 \right)=-1$
Giới hạn bên phải và bên trái tại điểm 1 khác nhau nên không tồn tại giới hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}$. Do đó, đạo hàm $y'(1)$ không tồn tại.
$y'(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{y-0}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}$
Ta cần tính riêng các giới hạn bên phải và bên trái tại điểm 1. Ta có:
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{(x-1)x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x^2=1$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{-(x-1)x^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\left( -x^2 \right)=-1$
Giới hạn bên phải và bên trái tại điểm 1 khác nhau nên không tồn tại giới hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{\left| x-1 \right|x^2}{x-1}$. Do đó, đạo hàm $y'(1)$ không tồn tại.