Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB \parallel CD$, $AB = 2CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là giao điểm của $SB$ và $(MCD)$ và $F$ là giao điểm của $(OMN)$ và $AD$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Sai. Ta có $AB \parallel CD$ nên áp dụng định lý Talet ta có: $$ \frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} = 2 $$ b) Đúng. Ta có hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(SAB)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $CD$ và $AB$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $Mx \parallel AB \parallel CD$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $Mx$ cắt $SB$ tại $N$. Xét tam giác $SAB$ có $M$ là trung điểm của $SA$ và $MN \parallel AB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. $\Rightarrow N$ là trung điểm của $SB$. c) Đúng. Với $F = (OMN) \cap AD$, ta có $F \in (OMN) \cap (ABCD)$. Mà $O \in (OMN) \cap (ABCD)$ nên $FO = (OMN) \cap (ABCD)$. Ta lại có $MN \parallel AB$ nên $FO \parallel AB$. Áp dụng định lý Talet ta có: $$ \frac{AF}{FD} = \frac{AO}{OC} = 2 $$ Vậy $AF = 2FD$. d) Sai. Chứng minh tương tự ở ý c) ta cũng được $OE \parallel AB$ nên $O, E, F$ thẳng hàng và $EF$ song song với $AB$ và song song với $MN$. Áp dụng định lý Talet ta có: $$ \frac{OE}{AB} = \frac{OC}{CA} = \frac{1}{3} \Rightarrow OE = \frac{1}{3}AB $$ Ta cũng có: $$ \frac{OF}{CD} = \frac{AO}{AC} = \frac{2}{3} \Rightarrow OF = \frac{2}{3}CD $$ Mà $AB = 2CD$ và $AB = 2MN$ nên: $$ EF = OE + OF = \frac{1}{3}AB + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{2}{3}AB = \frac{4}{3}MN $$ Vậy tứ giác $MNEF$ là hình thang có đáy lớn $EF = \frac{4}{3}MN$.