Giải phương trình $4x^2 + \sqrt{2x+3} = 8x+1$ ta được 2 nghiệm có dạng $\frac{a+\sqrt{b}}{4}$ và $\frac{c-\sqrt{d}}{4}$. Tính giá trị biểu thức $T = ab + cd$.

Điều kiện xác định: $2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{3}{2}$. Phương trình đã cho được viết lại thành: $4x^2 - 8x - 1 + \sqrt{2x+3} = 0$ Đặt $t = \sqrt{2x+3}$ với $t \ge 0$. Suy ra $2x = t^2 - 3 \Rightarrow 4x^2 = (t^2 - 3)^2 = t^4 - 6t^2 + 9$. Thay vào phương trình ta được: $(t^4 - 6t^2 + 9) - 4(t^2 - 3) - 1 + t = 0$ $\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 + t + 20 = 0$ $\Leftrightarrow (t^2 - t - 4)(t^2 + t - 5) = 0$ Trường hợp 1: $t^2 - t - 4 = 0$ Vì $t \ge 0$ nên ta chỉ nhận nghiệm $t = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Với $t = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$, ta có: $2x + 3 = t^2 = t + 4 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge -\frac{3}{2}$). Đồng nhất với dạng nghiệm $\frac{a+\sqrt{b}}{4}$, ta được $a = 3$ và $b = 17$. Trường hợp 2: $t^2 + t - 5 = 0$ Vì $t \ge 0$ nên ta chỉ nhận nghiệm $t = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$. Với $t = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$, ta có: $2x + 3 = t^2 = 5 - t = \frac{11 - \sqrt{21}}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5 - \sqrt{21}}{4}$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge -\frac{3}{2}$). Đồng nhất với dạng nghiệm $\frac{c-\sqrt{d}}{4}$, ta được $c = 5$ và $d = 21$. Vậy $T = ab + cd = 3.17 + 5.21 = 156$.