Bài tập nâng cao · Bài 82
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 82
Cho đa giác đều 20 đỉnh $A_1A_2\ldots A_{20}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Người ta tô màu ngẫu nhiên mỗi tam giác $OA_iA_{i+1}$ ($i=1,2,\ldots,20$ và xem $A_{21}\equiv A_1$) bởi một trong 6 màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng, Cam và Lam. Tính xác suất để tô các tam giác $OA_iA_{i+1}$ đó sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau. Chọn kết quả gần đúng nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Số cách tô ngẫu nhiên 20 tam giác bởi 6 màu là: $6^{20}$, suy ra số phần tử của không gian mẫu phép thử là: $|\Omega|=6^{20}$.
Gọi biến cố A: ‘tô 20 tam giác $OA_iA_{i+1}$ bởi một trong sáu màu thỏa mãn hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau”
Kí hiệu $S_{20}$ là số cách tô 20 tam giác $OA_iA_{i+1}$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau.
Số cách tô màu tam giác $OA_1A_2$ là 6; số cách tô màu tam giác $OA_2A_3$ là 5; số cách tô màu tam giác $OA_3A_4$ là 5; …; số cách tô màu tam giác $OA_{20}A_1$ là 5. Ta có $6\cdot5^{19}$ cách tô, nhưng trong đó có những cách tô không thỏa đề là hai tam giác $\Delta OA_1A_2$ và $\Delta OA_{20}A_1$ cùng màu, khi đó ta xem hai tam giác $OA_1A_2$ và $OA_{20}A_1$ như một tam giác (bỏ qua $A_1$) thì ta có
$S_{20}=6\cdot5^{19}-S_{19}$ (với $S_{19}$ là số cách tô 19 tam giác $OA_iA_{i+1}$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau)
Tương tự: $S_{19}=6\cdot5^{18}-S_{18},\ldots,S_3=6\cdot5^2-S_2,S_2=6\cdot5=30$
Vậy: $S_{20}=6\cdot5^{19}-6\cdot5^{18}+6\cdot5^{17}-\ldots+6\cdot5^3-6\cdot5^2+6\cdot5=6(5-5^2+5^3-\ldots+5^{19})=5^{20}+5$
Suy ra $|\Omega_A|=5^{20}+5$.
Kết luận: xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{5^{20}+5}{6^{20}}\approx0,0261$.
Gọi biến cố A: ‘tô 20 tam giác $OA_iA_{i+1}$ bởi một trong sáu màu thỏa mãn hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau”
Kí hiệu $S_{20}$ là số cách tô 20 tam giác $OA_iA_{i+1}$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau.
Số cách tô màu tam giác $OA_1A_2$ là 6; số cách tô màu tam giác $OA_2A_3$ là 5; số cách tô màu tam giác $OA_3A_4$ là 5; …; số cách tô màu tam giác $OA_{20}A_1$ là 5. Ta có $6\cdot5^{19}$ cách tô, nhưng trong đó có những cách tô không thỏa đề là hai tam giác $\Delta OA_1A_2$ và $\Delta OA_{20}A_1$ cùng màu, khi đó ta xem hai tam giác $OA_1A_2$ và $OA_{20}A_1$ như một tam giác (bỏ qua $A_1$) thì ta có
$S_{20}=6\cdot5^{19}-S_{19}$ (với $S_{19}$ là số cách tô 19 tam giác $OA_iA_{i+1}$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau)
Tương tự: $S_{19}=6\cdot5^{18}-S_{18},\ldots,S_3=6\cdot5^2-S_2,S_2=6\cdot5=30$
Vậy: $S_{20}=6\cdot5^{19}-6\cdot5^{18}+6\cdot5^{17}-\ldots+6\cdot5^3-6\cdot5^2+6\cdot5=6(5-5^2+5^3-\ldots+5^{19})=5^{20}+5$
Suy ra $|\Omega_A|=5^{20}+5$.
Kết luận: xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{5^{20}+5}{6^{20}}\approx0,0261$.