Bài tập nâng cao · Bài 42
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 42
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $D$ là trung điểm của $AB$, $E$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Chứng minh $OE\perp CD$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$-\quad\overrightarrow{CD}=\dfrac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC})$.
$-\quad\overrightarrow{OE}=\dfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC})=\dfrac13[\overrightarrow{OA}+\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\overrightarrow{OC}]$
$=\dfrac16(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC})$.
Do đó $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{OE}=\dfrac1{12}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC})\cdot(3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC})$
$=\dfrac1{12}(3OA^2+OB^2-4OC^2+4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})$
$=\dfrac13\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$
$=\dfrac13\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$, tức $OE\perp CD$.