Bài tập nâng cao · Bài 41
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 41
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $3a$. Lấy $M,N,P$ lần lượt trên 3 cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $BM=a$, $CN=2a$, $AP=x$. Tìm $x$ để $AM$ vuông góc với $PN$.
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ vectơ cơ sở $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow c$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac13(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac13\overrightarrow c+\dfrac23\overrightarrow b$.
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\dfrac13\overrightarrow c-\dfrac{x}{3a}\overrightarrow b$.
Để $AM\perp PN\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{PN}=0\Leftrightarrow(\dfrac13\overrightarrow c+\dfrac23\overrightarrow b)\cdot(\dfrac13\overrightarrow c-\dfrac{x}{3a}\overrightarrow b)=0$
$\Leftrightarrow(\overrightarrow c+2\overrightarrow b)\cdot(a\overrightarrow c-x\overrightarrow b)=0\Leftrightarrow a\overrightarrow c^2-x\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c+2a\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c-2x\overrightarrow b^2=0$
$\Leftrightarrow a\overrightarrow c^2+(2a-x)\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c-2x\overrightarrow b^2=0$
$\Leftrightarrow 9a^3+(2a-x)\dfrac{9a^2}{2}-18a^2x=0$
$\Leftrightarrow a+\dfrac{2a-x}{2}-2x=0$
$\Leftrightarrow2a-\dfrac52x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{4a}{5}$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac13(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac13\overrightarrow c+\dfrac23\overrightarrow b$.
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\dfrac13\overrightarrow c-\dfrac{x}{3a}\overrightarrow b$.
Để $AM\perp PN\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{PN}=0\Leftrightarrow(\dfrac13\overrightarrow c+\dfrac23\overrightarrow b)\cdot(\dfrac13\overrightarrow c-\dfrac{x}{3a}\overrightarrow b)=0$
$\Leftrightarrow(\overrightarrow c+2\overrightarrow b)\cdot(a\overrightarrow c-x\overrightarrow b)=0\Leftrightarrow a\overrightarrow c^2-x\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c+2a\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c-2x\overrightarrow b^2=0$
$\Leftrightarrow a\overrightarrow c^2+(2a-x)\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c-2x\overrightarrow b^2=0$
$\Leftrightarrow 9a^3+(2a-x)\dfrac{9a^2}{2}-18a^2x=0$
$\Leftrightarrow a+\dfrac{2a-x}{2}-2x=0$
$\Leftrightarrow2a-\dfrac52x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{4a}{5}$.