Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ABO$ và $CDO$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh $HK\perp IJ$.

Question

DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc. Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ABO$ và $CDO$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh $HK\perp IJ$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image622.png] $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}$ $=\underbrace{\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}}_{0}+\underbrace{\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}}_{0}+2\overrightarrow{IJ}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow\overrightarrow{IJ}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}2$. $2\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{HK}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})\cdot(\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OH})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{OH}$. Vì $K$ là trực tâm của tam giác $CDO$, ta có $CK\perp OD$ và $DK\perp OC$. Mà $OB$ thẳng hàng với $OD$, $OA$ thẳng hàng với $OC$, nên $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}$. Tương tự, vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABO$, ta có $BH\perp OA$ và $AH\perp OB$, suy ra $\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}$. Vậy $2\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{HK}=0$, hay $HK\perp IJ$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 40