Bài tập nâng cao · Bài 39
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 39
Cho hình vuông $ABCD$, điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM=\dfrac{AC}{4}$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Chứng minh rằng $DMN$ là tam giác vuông cân.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $a>0$ là độ dài cạnh hình vuông $ABCD$. Nên có $AC=a\sqrt2$, $CM=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.
Áp dụng định lí hàm số cosin cho các tam giác $CMN$ và $CDM$:
$\bullet\quad MN^2=CN^2+CM^2-2CN\cdot CM\cos\widehat{MCN}$
$=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2-2\cdot\dfrac a2\cdot\dfrac{3a\sqrt2}{4}\cos45^\circ=\dfrac{5a^2}{8}\Rightarrow MN=\dfrac{a\sqrt{10}}4\quad(1)$.
$\bullet\quad MD^2=CD^2+CM^2-2CD\cdot CM\cos\widehat{DCM}$
$=a^2+\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2-2\cdot a\cdot\dfrac{3a\sqrt2}{4}\cos45^\circ=\dfrac{5a^2}{8}\Rightarrow MD=\dfrac{a\sqrt{10}}4\quad(2)$.
$\bullet\quad DN^2=CD^2+CN^2=a^2+\left(\dfrac a2\right)^2=\dfrac{5a^2}{4}$.
Ta có $MN^2+MD^2=ND^2=\dfrac{5a^2}{4}\Rightarrow DMN$ vuông tại $M$ $(3)$.
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $DMN$ vuông cân tại $M$.
Cách 2:
Đặt $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow a$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow b$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$ và $|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$.
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=\dfrac12\overrightarrow{CB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}=\dfrac12\overrightarrow a-\dfrac34(\overrightarrow a+\overrightarrow b)$
$=-\dfrac14\overrightarrow a-\dfrac34\overrightarrow b=-\dfrac14(\overrightarrow a+3\overrightarrow b)$.
$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}-\dfrac34\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b-\dfrac34(\overrightarrow a+\overrightarrow b)=-\dfrac14(3\overrightarrow a-\overrightarrow b)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MD}=\dfrac1{16}(\overrightarrow a+3\overrightarrow b)\cdot(3\overrightarrow a-\overrightarrow b)=\dfrac1{16}(3\overrightarrow a^2+8\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b-3\overrightarrow b^2)$
$=\dfrac1{16}(3a^2-3b^2)=0\Rightarrow\overrightarrow{MN}\perp\overrightarrow{MD}\quad(4)$.
$\bullet\quad\overrightarrow{MN}^2=\dfrac1{16}(\overrightarrow a+3\overrightarrow b)^2=\dfrac1{16}(\overrightarrow a^2+6\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+9\overrightarrow b^2)=\dfrac{5a^2}{8}\quad(5)$.
$\bullet\quad\overrightarrow{MD}^2=\dfrac1{16}(3\overrightarrow a-\overrightarrow b)^2=\dfrac1{16}(9\overrightarrow a^2-6\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+\overrightarrow b^2)=\dfrac{5a^2}{8}\quad(6)$.
Từ $(4),(5),(6)$ suy ra $DMN$ vuông cân tại $M$.