Bài tập nâng cao · Bài 16
Dạng 2. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 16
(Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } -2m(m+1)x+2m ^ { 3 } +m ^ { 2 } +1 } { x-m } $ có đồ thị $ \left ( { C_{ m } } \right ) $($ m $ là tham số thực). Gọi $ A $ là điểm thỏa mãn vừa là điểm cực đại của $ \left ( { C_{ m } } \right ) $ứng với một giá trị $ m $ vừa là điểm cực tiểu của $ \left ( { C_{ m } } \right ) $ứng với giá trị khác của $ m $. Tìm giá trị của $ a $ để khoảng cách từ $ A $ đến đường thẳng $ \left ( { d } \right ):x-\left ( { a+1 } \right )y+a=0 $ đạt giá trị lớn nhất là
Xem lời giải
Lời giải
$ y=\frac { x ^ { 2 } -2m(m+1)x+2m ^ { 3 } +m ^ { 2 } +1 } { x-m }=\frac { \left ( { x-m } \right ) ^ { 2 } -2m ^ { 2 } \left ( { x-m } \right )+1 } { x-m } $ ( Điều kiện $ x\neq m $)
$ y=f\left ( { x } \right )=x-m+\frac { 1 } { x-m }-2m ^ { 2 } \\ \Rightarrow y'=1-\frac { 1 } { \left ( { x-m } \right ) ^ { 2 } }=0\Leftrightarrow \left ( { x-m } \right ) ^ { 2 } =1 \\ \Leftrightarrow \left[ x-m=1 \\ x-m=-1 \right.\Leftrightarrow \left[ x=m+1\Rightarrow y\left ( { m+1 } \right )=1+1-2m ^ { 2 } =2-2m ^ { 2 } \\ x=m-1\Rightarrow y\left ( { m-1 } \right )=-1-1-2m ^ { 2 } =-2-2m ^ { 2 } \right. $
Khi đó $ A\left ( { x_{ 0 } ,y_{ 0 } } \right ) $thỏa hệ phương trình
$ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =m_{ 1 } +1=m_{ 2 } -1 \\ y_{ 0 } =2-2m_{ 1 } ^ { 2 } =-2-2m_{ 2 } ^ { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } -m_{ 2 } =-2 \\ m_{ 1 } ^ { 2 } -m_{ 2 } ^ { 2 } =2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } -m_{ 2 } =-2 \\ \left ( { m_{ 1 } -m_{ 2 } } \right )\left ( { m_{ 1 } +m_{ 2 } } \right )=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } -m_{ 2 } =-2 \\ m_{ 1 } +m_{ 2 } =-1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } =-\frac { 3 } { 2 } \\ m_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =-\frac { 1 } { 2 } \\ y_{ 0 } =-\frac { 5 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow A\left ( { -\frac { 1 } { 2 },-\frac { 5 } { 2 } } \right ) $
Với $ \left ( { d } \right ):x-(a+1)y+a=0 $thì $ d\left ( { A;\left ( { d } \right ) } \right )=\frac { \left | { -\frac { 1 } { 2 }+\frac { 5 } { 2 }\left ( { a+1 } \right )+a } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +2a+2 } }=\frac { \left | { \frac { 7 } { 2 }a+2 } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +2a+2 } } $
Xét hàm $ g\left ( { a } \right )=\frac { \left ( { 7a+4 } \right ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } +2a+2 }\Rightarrow g'\left ( { a } \right )=0\Leftrightarrow \left[ a=-\frac { 4 } { 7 } \\ a=-\frac { 10 } { 3 } \right. $
Bảng biến thiên
$ x $ $ -\infty $ $ -\frac { 10 } { 3 } $ $ -\frac { 4 } { 7 } $ $ +\infty $
$ f'(x) $ $ + $ $ 0 $ $ - $ $ 0 $ $ + $
$ f(x) $ $ 58 $ $ 49 $
$ 49 $ $ 0 $
$ g\left ( { x } \right )_{ max } $tại $ a=-\frac { 10 } { 3 } $ nên $ d\left ( { A,\left ( { d } \right ) } \right )_{ max } $ tại $ a=-\frac { 10 } { 3 } $
$ y=f\left ( { x } \right )=x-m+\frac { 1 } { x-m }-2m ^ { 2 } \\ \Rightarrow y'=1-\frac { 1 } { \left ( { x-m } \right ) ^ { 2 } }=0\Leftrightarrow \left ( { x-m } \right ) ^ { 2 } =1 \\ \Leftrightarrow \left[ x-m=1 \\ x-m=-1 \right.\Leftrightarrow \left[ x=m+1\Rightarrow y\left ( { m+1 } \right )=1+1-2m ^ { 2 } =2-2m ^ { 2 } \\ x=m-1\Rightarrow y\left ( { m-1 } \right )=-1-1-2m ^ { 2 } =-2-2m ^ { 2 } \right. $
Khi đó $ A\left ( { x_{ 0 } ,y_{ 0 } } \right ) $thỏa hệ phương trình
$ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =m_{ 1 } +1=m_{ 2 } -1 \\ y_{ 0 } =2-2m_{ 1 } ^ { 2 } =-2-2m_{ 2 } ^ { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } -m_{ 2 } =-2 \\ m_{ 1 } ^ { 2 } -m_{ 2 } ^ { 2 } =2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } -m_{ 2 } =-2 \\ \left ( { m_{ 1 } -m_{ 2 } } \right )\left ( { m_{ 1 } +m_{ 2 } } \right )=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } -m_{ 2 } =-2 \\ m_{ 1 } +m_{ 2 } =-1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m_{ 1 } =-\frac { 3 } { 2 } \\ m_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =-\frac { 1 } { 2 } \\ y_{ 0 } =-\frac { 5 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow A\left ( { -\frac { 1 } { 2 },-\frac { 5 } { 2 } } \right ) $
Với $ \left ( { d } \right ):x-(a+1)y+a=0 $thì $ d\left ( { A;\left ( { d } \right ) } \right )=\frac { \left | { -\frac { 1 } { 2 }+\frac { 5 } { 2 }\left ( { a+1 } \right )+a } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +2a+2 } }=\frac { \left | { \frac { 7 } { 2 }a+2 } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +2a+2 } } $
Xét hàm $ g\left ( { a } \right )=\frac { \left ( { 7a+4 } \right ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } +2a+2 }\Rightarrow g'\left ( { a } \right )=0\Leftrightarrow \left[ a=-\frac { 4 } { 7 } \\ a=-\frac { 10 } { 3 } \right. $
Bảng biến thiên
$ x $ $ -\infty $ $ -\frac { 10 } { 3 } $ $ -\frac { 4 } { 7 } $ $ +\infty $
$ f'(x) $ $ + $ $ 0 $ $ - $ $ 0 $ $ + $
$ f(x) $ $ 58 $ $ 49 $
$ 49 $ $ 0 $
$ g\left ( { x } \right )_{ max } $tại $ a=-\frac { 10 } { 3 } $ nên $ d\left ( { A,\left ( { d } \right ) } \right )_{ max } $ tại $ a=-\frac { 10 } { 3 } $