Bài tập nâng cao · Bài 15
Dạng 2. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 15
(THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực $ x $, $ y $ thỏa mãn: $ 2y ^ { 3 } +7y+2x\sqrt[] { 1-x }=3\sqrt[] { 1-x }+3\left ( { 2y ^ { 2 } +1 } \right ) $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P=x+2y $.
Xem lời giải
Lời giải
$ 2y ^ { 3 } +7y+2x\sqrt[] { 1-x }=3\sqrt[] { 1-x }+3\left ( { 2y ^ { 2 } +1 } \right ) $.
$ \Leftrightarrow 2\left ( { y ^ { 3 } -3y ^ { 2 } +3y-1 } \right )+\left ( { y-1 } \right )=2\left ( { 1-x } \right )\sqrt[] { 1-x }+3\sqrt[] { 1-x }-2\sqrt[] { 1-x } $.
$ \Leftrightarrow 2\left ( { y-1 } \right ) ^ { 3 } +\left ( { y-1 } \right )=2\left ( { \sqrt[] { 1-x } } \right ) ^ { 3 } +\sqrt[] { 1-x }\,\,\left ( { 1 } \right ) $.
Xét hàm số $ f\left ( { t } \right )=2t ^ { 3 } +t $ trên $ \mathbb{R} $.
Ta có: $ f'\left ( { t } \right )=6t ^ { 2 } +1 $$ >0 $ với mọi $ t\in\mathbb{R} $$ \Rightarrow f\left ( { t } \right ) $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R} $.
Vậy $ \left ( { 1 } \right )\Leftrightarrow y-1=\sqrt[] { 1-x } $$ \Leftrightarrow y=1+\sqrt[] { 1-x } $.
$ \Rightarrow P=x+2y=x+2+2\sqrt[] { 1-x } $ với $ \left ( { x\leq 1 } \right ) $.
Xét hàm số $ g\left ( { x } \right )=2+x+2\sqrt[] { 1-x } $ trên $ \left ( { -\infty ;\,1 } \right ] $.
Ta có: $ g'\left ( { x } \right )=1-\frac { 1 } { \sqrt[] { 1-x } } $$ =\frac { \sqrt[] { 1-x }-1 } { \sqrt[] { 1-x } } $. $ g'\left ( { x } \right )=0\Rightarrow x=0 $.
Bảng biến thiên $ g\left ( { x } \right ) $:
Từ bảng biến thiên của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ suy ra giá trị lớn nhất của $ P $ là: $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { -\infty ;\,1 } \right ] } g\left ( { x } \right )=4 $.
$ \Leftrightarrow 2\left ( { y ^ { 3 } -3y ^ { 2 } +3y-1 } \right )+\left ( { y-1 } \right )=2\left ( { 1-x } \right )\sqrt[] { 1-x }+3\sqrt[] { 1-x }-2\sqrt[] { 1-x } $.
$ \Leftrightarrow 2\left ( { y-1 } \right ) ^ { 3 } +\left ( { y-1 } \right )=2\left ( { \sqrt[] { 1-x } } \right ) ^ { 3 } +\sqrt[] { 1-x }\,\,\left ( { 1 } \right ) $.
Xét hàm số $ f\left ( { t } \right )=2t ^ { 3 } +t $ trên $ \mathbb{R} $.
Ta có: $ f'\left ( { t } \right )=6t ^ { 2 } +1 $$ >0 $ với mọi $ t\in\mathbb{R} $$ \Rightarrow f\left ( { t } \right ) $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R} $.
Vậy $ \left ( { 1 } \right )\Leftrightarrow y-1=\sqrt[] { 1-x } $$ \Leftrightarrow y=1+\sqrt[] { 1-x } $.
$ \Rightarrow P=x+2y=x+2+2\sqrt[] { 1-x } $ với $ \left ( { x\leq 1 } \right ) $.
Xét hàm số $ g\left ( { x } \right )=2+x+2\sqrt[] { 1-x } $ trên $ \left ( { -\infty ;\,1 } \right ] $.
Ta có: $ g'\left ( { x } \right )=1-\frac { 1 } { \sqrt[] { 1-x } } $$ =\frac { \sqrt[] { 1-x }-1 } { \sqrt[] { 1-x } } $. $ g'\left ( { x } \right )=0\Rightarrow x=0 $.
Bảng biến thiên $ g\left ( { x } \right ) $:
Từ bảng biến thiên của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ suy ra giá trị lớn nhất của $ P $ là: $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { -\infty ;\,1 } \right ] } g\left ( { x } \right )=4 $.