Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 14

Ta có $9x^3+(2-y\sqrt{3xy-5})x+\sqrt{3xy-5}=0$
$\Leftrightarrow 27x^3+6x=(3xy-5)\sqrt{3xy-5}+2\sqrt{3xy-5}$.
Xét hàm số $f(t)=t^3+2t$ trên $\mathbb R$. Vì $f'(t)=3t^2+2>0$ với mọi $t\in\mathbb R$, hàm số đồng biến trên $\mathbb R$.
Do đó $3x=\sqrt{3xy-5}$, suy ra $x\geq0$ và $9x^2=3xy-5$. Trường hợp $x=0$ dẫn đến $0=-5$, vô lí, nên $x>0$.
Theo các biểu thức trong bản gốc,
$P=x^3+y^3+6xy+3(3x^2+1)(x+y-2)$
$=x^3+y^3+6xy+(9x^2+3)(x+y-2)$
$=x^3+y^3+6xy+(3xy-2)(x+y-2)$
$=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-2(x+y)+4$
$=(x+y)^3-2(x+y)+4$.
Mặt khác, $x+y=x+\dfrac{9x^2+5}{3x}=4x+\dfrac{5}{3x}\geq2\sqrt{4x\cdot\dfrac{5}{3x}}=\dfrac{4\sqrt5}{\sqrt3}$.
Đặt $t=x+y$, khi đó $t\geq\dfrac{4\sqrt5}{\sqrt3}$. Xét $h(t)=t^3-2t+4$; ta có $h'(t)=3t^2-2>0$ trên miền đang xét.
Vì vậy $P\geq h\left(\dfrac{4\sqrt5}{\sqrt3}\right)=\dfrac{36+296\sqrt{15}}9$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\dfrac{36+296\sqrt{15}}9$.