Bài tập nâng cao · Bài 13
Dạng 2. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 13
(Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho các số thực $ x $, $ y $ thay đổi thỏa mãn $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -xy=1 $ và hàm số $ f\left ( { t } \right )=2t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +1 $. Gọi $ M $,$ m $ tương ứng là GTLN và GTNN của $ Q=f\left ( { \frac { 5x-y+2 } { x+y+4 } } \right ) $. Tính tổng $ M+m $
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=\frac { 5x-y+2 } { x+y+4 } $. Theo giả thiết, $ x ^ { 2 } -xy+y ^ { 2 } =1\Leftrightarrow \frac { 3 } { 4 }\left ( { x-y } \right ) ^ { 2 } +\frac { 1 } { 4 }\left ( { x+y } \right ) ^ { 2 } =1 $
nên ta đặt $ \left \{ \begin{array}{l} cosφ=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { x-y } \right ) \\ sinφ=\frac { 1 } { 2 }\left ( { x+y } \right ) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x-y=\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }cosφ \\ x+y=2sinφ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }cosφ+sinφ \\ y=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }cosφ+sinφ \end{array} \right.{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 0\leq φ\leq 2\pi } \right ) $.
Khi đó, $ t=\frac { 2\sqrt[] { 3 }cosφ+4sinφ+2 } { 2sinφ+4 }\Leftrightarrow \left ( { t-2 } \right ).sinφ-\sqrt[] { 3 }.cosφ=1-2t{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $.
Phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } \geq \left ( { 1-2t } \right ) ^ { 2 } \Leftrightarrow 3t ^ { 2 } -6\leq 0\Leftrightarrow -\sqrt[] { 2 }\leq t\leq \sqrt[] { 2 } $.
Xét hàm số $ Q=f\left ( { t } \right )=2t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +1,{ \rm{ } }t\in \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] $.
$ f'\left ( { t } \right )=6t ^ { 2 } -6t $. Cho $ f'\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow \left[ t=0\in \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] \\ t=1\in \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] \right. $.
$ f\left ( { -\sqrt[] { 2 } } \right )=-5-4\sqrt[] { 2 } $; $ f\left ( { 0 } \right )=1 $; $ f\left ( { 1 } \right )=0 $; $ f\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right )=-5+4\sqrt[] { 2 } $.
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} M=maxQ=\mathop { max } \limits_{ \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { 0 } \right )=1 \\ m=minQ=\mathop { min } \limits_{ \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { -\sqrt[] { 2 } } \right )=-5-4\sqrt[] { 2 } \end{array} \right. $.
Vậy $ M+m=-4-4\sqrt[] { 2 } $.
nên ta đặt $ \left \{ \begin{array}{l} cosφ=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { x-y } \right ) \\ sinφ=\frac { 1 } { 2 }\left ( { x+y } \right ) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x-y=\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }cosφ \\ x+y=2sinφ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }cosφ+sinφ \\ y=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }cosφ+sinφ \end{array} \right.{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 0\leq φ\leq 2\pi } \right ) $.
Khi đó, $ t=\frac { 2\sqrt[] { 3 }cosφ+4sinφ+2 } { 2sinφ+4 }\Leftrightarrow \left ( { t-2 } \right ).sinφ-\sqrt[] { 3 }.cosφ=1-2t{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $.
Phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } \geq \left ( { 1-2t } \right ) ^ { 2 } \Leftrightarrow 3t ^ { 2 } -6\leq 0\Leftrightarrow -\sqrt[] { 2 }\leq t\leq \sqrt[] { 2 } $.
Xét hàm số $ Q=f\left ( { t } \right )=2t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +1,{ \rm{ } }t\in \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] $.
$ f'\left ( { t } \right )=6t ^ { 2 } -6t $. Cho $ f'\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow \left[ t=0\in \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] \\ t=1\in \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] \right. $.
$ f\left ( { -\sqrt[] { 2 } } \right )=-5-4\sqrt[] { 2 } $; $ f\left ( { 0 } \right )=1 $; $ f\left ( { 1 } \right )=0 $; $ f\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right )=-5+4\sqrt[] { 2 } $.
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} M=maxQ=\mathop { max } \limits_{ \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { 0 } \right )=1 \\ m=minQ=\mathop { min } \limits_{ \left[ -\sqrt[] { 2 }\,;\,\sqrt[] { 2 } \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { -\sqrt[] { 2 } } \right )=-5-4\sqrt[] { 2 } \end{array} \right. $.
Vậy $ M+m=-4-4\sqrt[] { 2 } $.