Bài tập nâng cao · Bài 12
Dạng 2. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 12
(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho $ x $, $ y $ là các số thực thỏa mãn $ x+y=\sqrt[] { x-1 }+\sqrt[] { 2y+2 } $. Gọi $ M $, $ m $ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $ P=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2\left ( { x+1 } \right )\left ( { y+1 } \right )+8\sqrt[] { 4-x-y } $. Tính giá trị $ M+m $
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { x+y } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \sqrt[] { x-1 }+\sqrt[] { 2 }\sqrt[] { y+1 } } \right ) ^ { 2 } \leq 3\left ( { x+y } \right )\Leftrightarrow 0\leq x+y\leq 3 $
$ P=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2\left ( { x+1 } \right )\left ( { y+1 } \right )+8\sqrt[] { 4-x-y }=\left ( { x+y } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { x+y } \right )+2+8\sqrt[] { 4-\left ( { x+y } \right ) } $
Đặt $ t=\sqrt[] { 4-\left ( { x+y } \right ) },t\in \left[ 1;2 \right] $.
Ta có: $ f\left ( { t } \right )=\left ( { 4-t ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { 4-t ^ { 2 } } \right )+2+8t=t ^ { 4 } -10t ^ { 2 } +8t+26 $.
$ f'\left ( { t } \right )=4t ^ { 3 } -20t+8 $
$ f'\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow \left[ t=2 \\ t ^ { 2 } +2t-1=0 \right.\Leftrightarrow \left[ t=2\in \left[ 1;2 \right] \\ t=-1+\sqrt[] { 2 }\notin \left[ 1;2 \right] \\ t=-1-\sqrt[] { 2 }\notin \left[ 1;2 \right] \right. $
$ f\left ( { 1 } \right )=25;f\left ( { 2 } \right )=18 $.
Suy ra $ m=\mathop { min } \limits_{ \left[ 1;2 \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { 2 } \right )=18;M=\mathop { max } \limits_{ \left[ 1;2 \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { 1 } \right )=25 $.
Vậy $ M+m=43 $.
$ P=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2\left ( { x+1 } \right )\left ( { y+1 } \right )+8\sqrt[] { 4-x-y }=\left ( { x+y } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { x+y } \right )+2+8\sqrt[] { 4-\left ( { x+y } \right ) } $
Đặt $ t=\sqrt[] { 4-\left ( { x+y } \right ) },t\in \left[ 1;2 \right] $.
Ta có: $ f\left ( { t } \right )=\left ( { 4-t ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { 4-t ^ { 2 } } \right )+2+8t=t ^ { 4 } -10t ^ { 2 } +8t+26 $.
$ f'\left ( { t } \right )=4t ^ { 3 } -20t+8 $
$ f'\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow \left[ t=2 \\ t ^ { 2 } +2t-1=0 \right.\Leftrightarrow \left[ t=2\in \left[ 1;2 \right] \\ t=-1+\sqrt[] { 2 }\notin \left[ 1;2 \right] \\ t=-1-\sqrt[] { 2 }\notin \left[ 1;2 \right] \right. $
$ f\left ( { 1 } \right )=25;f\left ( { 2 } \right )=18 $.
Suy ra $ m=\mathop { min } \limits_{ \left[ 1;2 \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { 2 } \right )=18;M=\mathop { max } \limits_{ \left[ 1;2 \right] } f\left ( { t } \right )=f\left ( { 1 } \right )=25 $.
Vậy $ M+m=43 $.