Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right |=a\,\,\,\,\left ( { a>0 } \right ). $ Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ Kiểm tra $ max\left \{ \begin{array}{l} \left | { m+K } \right |,\left | { m+k } \right | \end{array} \right \}\geq \frac { \left | { m+K } \right |+\left | { m+k } \right | } { 2 }\,\geq \frac { \left | { m+K-m-k } \right | } { 2 }=\frac { \left | { K-k } \right | } { 2 }. $ TH1:$ \frac { \left | { K-k } \right | } { 2 }\leq a. $ Để$ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y=a\Leftrightarrow \left[ m+k=-a \\ m+K=a \right.\Leftrightarrow \left[ m=-a-k \\ m=a-K \right.\Rightarrow m\in \left \{ \begin{array}{l} -a-k;a-K \end{array} \right \} $. TH2:$ \frac { \left | { K-k } \right | } { 2 }>a $ $ \Rightarrow m\in ∅ $. Cách 2: Xét trường hợp TH1: $ Max=\left | { m+K } \right |\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { m+K } \right |=a \\ \left | { m+K } \right |\geq \left | { m+k } \right | \end{array} \right. $ TH2:$ Max=\left | { m+k } \right |\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { m+k } \right |=a \\ \left | { m+k } \right |\geq \left | { m+K } \right | \end{array} \right. $ Dạng 2: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right |=a\,\,\,\,\left ( { a>0 } \right ). $ Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ Để$ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y=a\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k=a \\ m+k>0 \end{array} \right.∨\left \{ \begin{array}{l} m+K=-a \\ m+K < 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m=a-k \\ m>-k \end{array} \right.∨\left \{ \begin{array}{l} m=-a-K \\ m < -K \end{array} \right.. $ Vậy $ m\in S_{ 1 } ∪S_{ 2 } . $ Dạng 3: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right | $ không vượt quá giá trị $ M $ cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ Để$ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y\leq M\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k\geq -M \\ m+K\leq M \end{array} \right.\Leftrightarrow -M-k\leq m\leq M-K. $ Dạng 4: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right | $ không vượt quá giá trị $ a $ cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ Để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta \right] } y\leq a\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k\leq a \\ m+k\geq 0 \end{array} \right.∨\left \{ \begin{array}{l} m+K\geq -a \\ m+K\leq 0 \end{array} \right.∨\left ( { m+K } \right )\left ( { m+k } \right ) < 0\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\leq a-k \\ m\geq -k \end{array} \right.∨\left \{ \begin{array}{l} m\geq -a-K \\ m\leq -K \end{array} \right.∨-K < m < -k. $ Dạng 5: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right | $ đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ Đề hỏi tìm $ m\Rightarrow m=-\frac { K+k } { 2 }. $ Đề hỏi tìm min của $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } y\Rightarrow $ giá trị này là $ \frac { K-k } { 2 }. $ Dạng 6: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right | $ đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ Đề hỏi tìm $ m\Rightarrow \left ( { m+K } \right )\left ( { m+k } \right )\leq 0\Leftrightarrow -K\leq m\leq -k $. Đề hỏi tìm min của $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } y\Rightarrow $ giá trị này là $ 0. $ Dạng 7: Cho hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right | $.Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } y\leq h.\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } y\,\left ( { h>0 } \right ) $hoặc $ Min+max= $ Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ TH1: $ \left | { K+m } \right |\leq h\left | { k+m } \right |\xrightarrow [\mathrm{ K+m\,\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ u } }{ \rm{ n } }{ \rm{ g } }\,{ \rm{ d } }{ \rm{ a } }{ \rm{ u } }\,\,k+m\,\, }] {\mathrm{ \left | { K+m } \right |\,\geq \,\left | { k+m } \right | }}m\in S_{ 1 } . $ TH2: $ \left | { k+m } \right |\leq h\left | { K+m } \right |\xrightarrow [\mathrm{ K+m\,\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ u } }{ \rm{ n } }{ \rm{ g } }\,{ \rm{ d } }{ \rm{ a } }{ \rm{ u } }\,\,k+m\,\, }] {\mathrm{ \left | { k+m } \right |\,\geq \,\left | { K+m } \right | }}m\in S_{ 2 } . $ Vậy $ m\in S_{ 1 } ∪S_{ 2 } . $ Dạng 8: Cho hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } \right )+m } \right | $. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right )=k\,\,\left ( { K>k } \right ). $ BT1: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } y+\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } y=\alpha \Leftrightarrow \left | { m+K } \right |+\left | { m+k } \right |=\alpha $. BT2: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } y*\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } y=\beta \Leftrightarrow \left | { m+K } \right |*\left | { m+k } \right |=\beta $.
Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 11
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y=f\left ( { -\left | { \sqrt[] { 3 }sinx-cosx } \right |+2 } \right )+2cos2x+4sinx-1 $
Xem lời giải
Lời giải
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ 2sinx-1=0\Leftrightarrow \left[ x=\frac { \pi } { 6 }+k2\pi \\ x=\frac { 5\pi } { 6 }+k2\pi \right. $
Đặt $ t-1=-\left | { \sqrt[] { 3 }sinx-cosx } \right |+2\Leftrightarrow \left | { \sqrt[] { 3 }sinx-cosx } \right |=3-t $
Mà $ 0\leq \left | { \sqrt[] { 3 }sinx-cosx } \right |\leq 2 $ nên $ 0\leq 3-t\leq 2\Leftrightarrow 1\leq t\leq 3 $
$ g\left ( { t } \right )=f\left ( { t-1 } \right )+2\leq 4 $
$ g\left ( { t } \right )=4\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \sqrt[] { 3 }sinx-cosx=0\Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 6 }+k\pi $
Vậy $ y_{ { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } =4\Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 6 }+k2\pi $