(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Hàm số $ f(x)=10 ^ { x } +x $ và $ g(x)=x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } +1 } \right )x-2 $. Gọi $ M $ là giá trị lớn nhất của hàm số $ y=g(x+f(x)) $ trên đoạn $ [0;1] $. Khi $ M $ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $ m $ bằng?

Question

Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight |=a\,\,\,\,\left ( { a>0 } ight ). $ Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Kiểm tra $ max\left \{ \begin{array}{l} \left | { m+K } ight |,\left | { m+k } ight | \end{array} ight \}\geq \frac { \left | { m+K } ight |+\left | { m+k } ight | } { 2 }\,\geq \frac { \left | { m+K-m-k } ight | } { 2 }=\frac { \left | { K-k } ight | } { 2 }. $ TH1:$ \frac { \left | { K-k } ight | } { 2 }\leq a. $ Để$ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=a\Leftrightarrow \left[ m+k=-a \ m+K=a ight.\Leftrightarrow \left[ m=-a-k \ m=a-K ight.\Rightarrow m\in \left \{ \begin{array}{l} -a-k;a-K \end{array} ight \} $. TH2:$ \frac { \left | { K-k } ight | } { 2 }>a $ $ \Rightarrow m\in ∅ $. Cách 2: Xét trường hợp TH1: $ Max=\left | { m+K } ight |\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { m+K } ight |=a \ \left | { m+K } ight |\geq \left | { m+k } ight | \end{array} ight. $ TH2:$ Max=\left | { m+k } ight |\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { m+k } ight |=a \ \left | { m+k } ight |\geq \left | { m+K } ight | \end{array} ight. $ Dạng 2: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight |=a\,\,\,\,\left ( { a>0 } ight ). $ Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Để$ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=a\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k=a \ m+k>0 \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m+K=-a \ m+K < 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m=a-k \ m>-k \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m=-a-K \ m < -K \end{array} ight.. $ Vậy $ m\in S_{ 1 } ∪S_{ 2 } . $ Dạng 3: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ không vượt quá giá trị $ M $ cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Để$ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y\leq M\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k\geq -M \ m+K\leq M \end{array} ight.\Leftrightarrow -M-k\leq m\leq M-K. $ Dạng 4: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ không vượt quá giá trị $ a $ cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y\leq a\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k\leq a \ m+k\geq 0 \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m+K\geq -a \ m+K\leq 0 \end{array} ight.∨\left ( { m+K } ight )\left ( { m+k } ight ) < 0\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\leq a-k \ m\geq -k \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m\geq -a-K \ m\leq -K \end{array} ight.∨-K < m < -k. $ Dạng 5: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Đề hỏi tìm $ m\Rightarrow m=-\frac { K+k } { 2 }. $ Đề hỏi tìm min của $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\Rightarrow $ giá trị này là $ \frac { K-k } { 2 }. $ Dạng 6: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Đề hỏi tìm $ m\Rightarrow \left ( { m+K } ight )\left ( { m+k } ight )\leq 0\Leftrightarrow -K\leq m\leq -k $. Đề hỏi tìm min của $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\Rightarrow $ giá trị này là $ 0. $ Dạng 7: Cho hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $.Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\leq h.\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\,\left ( { h>0 } ight ) $hoặc $ Min+max= $ Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ TH1: $ \left | { K+m } ight |\leq h\left | { k+m } ight |\xrightarrow [\mathrm{ K+m\,\,\,{ m{ c } }{ m{ u } }{ m{ n } }{ m{ g } }\,{ m{ d } }{ m{ a } }{ m{ u } }\,\,k+m\,\, }] {\mathrm{ \left | { K+m } ight |\,\geq \,\left | { k+m } ight | }}m\in S_{ 1 } . $ TH2: $ \left | { k+m } ight |\leq h\left | { K+m } ight |\xrightarrow [\mathrm{ K+m\,\,\,{ m{ c } }{ m{ u } }{ m{ n } }{ m{ g } }\,{ m{ d } }{ m{ a } }{ m{ u } }\,\,k+m\,\, }] {\mathrm{ \left | { k+m } ight |\,\geq \,\left | { K+m } ight | }}m\in S_{ 2 } . $ Vậy $ m\in S_{ 1 } ∪S_{ 2 } . $ Dạng 8: Cho hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ BT1: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y+\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\alpha \Leftrightarrow \left | { m+K } ight |+\left | { m+k } ight |=\alpha $. BT2: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y*\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\beta \Leftrightarrow \left | { m+K } ight |*\left | { m+k } ight |=\beta $. (THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Hàm số $ f(x)=10 ^ { x } +x $ và $ g(x)=x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } +1 } ight )x-2 $. Gọi $ M $ là giá trị lớn nhất của hàm số $ y=g(x+f(x)) $ trên đoạn $ [0;1] $. Khi $ M $ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $ m $ bằng?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $ f′(x)=10 ^ { x } ln10+1>0,∀x $ $ g′(x)=3x ^ { 2 } -2mx+\left ( { m ^ { 2 } +1 } ight )>0,∀x{ m{ } }{ m{ d } }{ m{ o } }{ m{ } }\Delta ′=-2m ^ { 2 } -3 < 0. \ y=g(x+f(x))=g\left ( { 10 ^ { x } +2x } ight ). \ y′=\left[ g\left ( { 10 ^ { x } +2x } ight ) ight]′=\left ( { 10 ^ { x } ln10+2 } ight )\cdot g′\left ( { 10 ^ { x } +2x } ight )>0,∀x\in [0;1]. $ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $ x=1 $ khi đó $ M=\mathop { Maxy } \limits_{ [0,1] } =y(1)=g(12)=12 ^ { 3 } -m\cdot 12 ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } +1 } ight )\cdot 12-2 \ =12m ^ { 2 } -144m+1738=12\cdot (m-6) ^ { 2 } +1306\geq 1306 $ $ M $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ m=6 $.

Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 10