(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+1}{bx+c}$ $(a,b,c\in\mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số $a,b$ và $c$ có bao nhiêu số dương?
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số $f(x)=\frac{ax+1}{bx+c}$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{c}{b}$ và đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\frac{a}{b}$.
Từ bảng biến thiên ta có: $\left\{ \begin{array}{l} -\frac{c}{b}=2 \\ \frac{a}{b}=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow a=b=-\frac{c}{2}$ $(1)$
Mặt khác: $f'(x)=\frac{ac-b}{(bx+c)^2}$.
Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$ nên
$f'(x)=\frac{ac-b}{(bx+c)^2}>0\Leftrightarrow ac-b>0$ $(2)$
Thay $(1)$ vào $(2)$, ta được: $-\frac{c^2}{2}+\frac{c}{2}>0\Leftrightarrow -c^2+c>0\Leftrightarrow 0<c<1$.
Suy ra c là số dương và a, b là số âm.
