Bài tự luận · Bài 32
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 32
Cho tứ diện $ ABCD $ có $ \left ( { ACD } \right )\perp\left ( { BCD } \right ) $, $ AC=AD=BC=BD=4 $, $ CD=x\left ( { 0 < x < 8 } \right ) $. Gọi $ I $, $ J $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Với giá trị nào của $ x $ thì $ \left ( { ABC } \right )\perp\left ( { ABD } \right ) $ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có tam giác $ ACD $ cân tại $ A $ nên $ AJ\perp CD $; tam giác $ BCD $ cân tại $ B $ nên $ BJ\perp CD $.
Kết hợp với giả thiết $ \left ( { ACD } \right )\perp\left ( { BCD } \right ) $ ta được $ AJ\perp BJ $.
Nhận thấy: $ \Delta ACD=\Delta BCD\left ( { c.c.c } \right )\Rightarrow AJ=BJ\Rightarrow AB=AJ\sqrt { 2 }=\sqrt { 2\left ( { AC ^ { 2 } -CJ ^ { 2 } } \right ) }=\sqrt { 2\left ( { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $
Tương tự ta cũng có $ CI=DI $.
Ta có $ \Delta CAB $ cân tại $ C $ nên $ CI\perp AB $; $ \Delta DAB $ cân tại $ D $ nên $ DI\perp AB $.
Nếu $ \left ( { ABC } \right )\perp\left ( { ABD } \right ) $ thì $ DI\perp\left ( { ABC } \right )\Rightarrow DI\perp CI $$ \Leftrightarrow $$ \Delta ICD $ vuông cân tại $ I $
$ \Rightarrow CD=\sqrt { 2 }CI\Leftrightarrow CD=\sqrt { 2\left ( { AC ^ { 2 } -AI ^ { 2 } } \right ) }\Leftrightarrow CD=\sqrt { 2\left ( { AC ^ { 2 } -\frac { AB ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $
$ \Leftrightarrow x=\sqrt { 2\left ( { 16-\frac { 64-x ^ { 2 } } { 8 } } \right ) } $$ \Leftrightarrow x ^ { 2 } =16+\frac { x ^ { 2 } } { 4 } $
$ \Leftrightarrow x=\frac { 8\sqrt { 3 } } { 3 }\approx 4.6 $