(CD10) Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $A',B',C'$ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,CA$ thoả mãn $\frac{AA'}{AB}=\frac{BB'}{BC}=\frac{CC'}{CA}$. Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có cùng trọng tâm.

Question

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Xét hiệu của hai vế. - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì. (CD10) Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $A',B',C'$ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,CA$ thoả mãn $\frac{AA'}{AB}=\frac{BB'}{BC}=\frac{CC'}{CA}$. Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có cùng trọng tâm.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Giả sử hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có trọng tâm lần lượt là $G,G'$. Ta có: $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$ $=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}=3\overrightarrow{GG'}$ Đặt $\frac{AA'}{AB}=\frac{BB'}{BC}=\frac{CC'}{CA}=k$, ta có: $\overrightarrow{AA'}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BB'}=k\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CC'}=k\overrightarrow{CA}$. Suy ra $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CA}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=k\vec{0}=0$. Từ các đẳng thức trên, ta có: $3\overrightarrow{GG'}=0$ hay $G$ và $G'$ trùng nhau.

Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 26