Bài tập nâng cao · Bài 97
Dạng 4. Min – max thể tích khối đa diện
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 97
Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=4,AB=2,AC=1 $ và $ SA⊥\left ( { ABC } \right ) $. Gọi $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Mặt cầu tâm $ O $, đi qua $ A $ và cắt các tia $ SB,SC $ lần lượt tại $ D $ và $ E $. Khi độ dài đoạn thẳng $ BC $ thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $ S.ADE $ là
Xem lời giải
Lời giải
Dựng $ HB⊥AB,HC⊥AC $. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ là trung điểm của $ AH $.
$ D,E $ thuộc mặt cầu tâm $ O $, đường kính $ AH $.
$ \Rightarrow \widehat { ADH }= \widehat { AEH }=90° $.
$ \left \{ \begin{array}{l} HB⊥AB \\ HB⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow HB⊥\left ( { SAB } \right ) $($ AD⊂\left ( { SAB } \right ) $)
$ \Rightarrow AD⊥\left ( { SBH } \right ) $
$ \Rightarrow AD⊥SB $.
Tương tự: $ AE⊥SC $.
$ \frac { V_{ SADE } } { V_{ SABC } }=\frac { SA } { SA }.\frac { SD } { SB }.\frac { SE } { SC }=\frac { SA ^ { 2 } } { SB ^ { 2 } }\cdot \frac { SA ^ { 2 } } { SC ^ { 2 } }=\frac { 64 } { 85 }\Rightarrow V_{ SADE } =\frac { 64 } { 85 }V_{ SABC } $.
$ V_{ SADE } $ lớn nhất khi và chỉ khi $ V_{ SABC } $ lớn nhất.
$ V_{ SABC } $ lớn nhất khi và chỉ khi $ S_{ \Delta ABC } $ lớn nhất.
Đặt $ BC=x\left ( { 1 < x < 3 } \right ) $.
$ p=\frac { AB+BC+CA } { 2 }=\frac { 3+x } { 2 } $.
$ S_{ \Delta ABC }=\frac { 1 } { 4 }\sqrt[] { \left ( { 9-x ^ { 2 } } \right )\left ( { x ^ { 2 }-1 } \right ) }\leq 1 $, dấu bằng xảy ra khi $ x=\sqrt[] { 5 } $.
$ maxV_{ SABC }=\frac { 1 } { 3 }\cdot 4\cdot 1=\frac { 4 } { 3 } $.
$ maxV_{ SADE }=\frac { 64 } { 85 }\cdot\frac { 4 } { 3 }=\frac { 256 } { 255 } $.