Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 96

Mặt đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ là hình bình hành $ \Rightarrow $$ \Delta ADC $ và $ \Delta ABC $ có cùng diện tích
$ \Rightarrow $$ V_{ S.ADC } =V_{ S.ABC } $ (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).
Mà $ V_{ S.ABCD } =V_{ S.ADC } +V_{ S.ABC } =24 $cm3 $ \Rightarrow V_{ S.ADC } =V_{ S.ABC } =\frac { V_{ S.ABCD } } { 2 }=\frac { 24 } { 2 }=12 $ (cm3).
Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $; $ I $ là giao điểm của $ SO $ và $ AE $ $ \Rightarrow $$ I $ là trọng tâm của $ \Delta SAC $ và $ I $ thuộc $ MN $. Gọi $ \frac { SM } { SB }=a $ và $ \frac { SN } { SD }=b $ ($ a>0 $; $ b>0 $).
Ta có: $ \frac { V_{ S.ANE } } { V_{ S.ADC } }=\frac { SA } { SA }\cdot \frac { SN } { SD }\cdot \frac { SE } { SC }=1\cdot b\cdot \frac { 1 } { 2 }=\frac { b } { 2 } $ và $ \frac { V_{ S.AME } } { V_{ S.ABC } }=\frac { SA } { SA }\cdot \frac { SM } { SB }\cdot \frac { SE } { SC }=1\cdot a\cdot \frac { 1 } { 2 }=\frac { a } { 2 } $
$ \Rightarrow \frac { V_{ S.ANE } } { 12 }=\frac { b } { 2 } $ và $ \frac { V_{ S.AME } } { 12 }=\frac { a } { 2 } $ $ \Rightarrow V_{ S.ANE } =6b $ (cm3) và $ V_{ S.AME } =6a $ (cm3).
Do đó: $ V_{ S.AMEN } =V_{ S.AME } +V_{ S.ANE } =6a+6b=6\left ( { a+b } \right ) $ (cm3).
Mặt khác: $ \Delta ISM $ và $ \Delta ISB $ có chung chiều cao kẻ từ $ I $ và có đáy $ \frac { SM } { SB }=a $$ \Rightarrow a=\frac { S_{ ISM } } { S_{ ISB } } $.
Mà $ I $ là trọng tâm của $ \Delta SAC $$ \Rightarrow \frac { SI } { SO }=\frac { 2 } { 3 } $$ \Rightarrow \frac { S_{ ISB } } { S_{ SOB } }=\frac { 2 } { 3 } $$ \Rightarrow \frac { S_{ ISM } } { S_{ SOB } }=\frac { 2a } { 3 } $.
Chứng minh tương tự ta có: $ \frac { S_{ ISN } } { S_{ SOD } }=\frac { 2b } { 3 } $.
$ O $ là trung điểm của $ DB $$ \Rightarrow S_{ SOB } =S_{ SOD } =\frac { S_{ SDB } } { 2 } $ hay $ S_{ SDB } =2S_{ SOB } =2S_{ SOD } $
$ \Rightarrow \frac { 2a } { 3 }+\frac { 2b } { 3 }=\frac { S_{ ISM } } { S_{ SOB } }+\frac { S_{ ISN } } { S_{ SOD } }=\frac { 2S_{ ISM } } { 2S_{ SOB } }+\frac { 2S_{ ISN } } { 2S_{ SOD } }=\frac { 2\left ( { S_{ ISM } +S_{ ISN } } \right ) } { S_{ SDB } }=\frac { 2S_{ SNM } } { S_{ SDB } } $
$ \Rightarrow a+b=\frac { 3S_{ SNM } } { S_{ SDB } }=\frac { 3SN\cdot SM\cdot sin \widehat { MSN } } { SD\cdot SB\cdot sin \widehat { BSD } }=3\cdot \frac { SN } { SD }\cdot \frac { SM } { SB }=3ab $.
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $ ab\leq \frac { \left ( { a+b } \right ) ^ { 2 } } { 4 } $$ \Rightarrow a+b=3ab\leq \frac { 3\left ( { a+b } \right ) ^ { 2 } } { 4 } $
$ \Rightarrow 3\left ( { a+b } \right )\geq 4 $ (do $ a+b>0 $) $ \Rightarrow a+b\geq \frac { 4 } { 3 } $ $ \Rightarrow 6\left ( { a+b } \right )\geq 8 $ hay $ V_{ S.AMEN } \geq 8 $ (cm3).
Dấu “$ = $” xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac { 2 } { 3 } $$ \Leftrightarrow \frac { SM } { SB }=\frac { SN } { SD }=\frac { 2 } { 3 } $$ \Leftrightarrow MN $ đi qua $ I $.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $ S.AMEN $ là $ 8 $cm3.