Bài tập nâng cao · Bài 95
Dạng 4. Min – max thể tích khối đa diện
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 95
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ và góc giữa $ SC $ với mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ bằng $ 30 ^ { 0 } $. Gọi $ M $ là điểm di động trên cạnh $ CD $ và $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên đường thẳng $ BM $. Khi $ M $ di động trên $ CD $ thì thể tích khối chóp $ S.ABH $ lớn nhất là
Xem lời giải
Lời giải
Theo bài $ SA⊥\left ( { ABH } \right ) $$ \Rightarrow V_{ S.ABH } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABH } $. Nên $ V_{ S.ABH } $ lớn nhất khi $ S_{ ABH } $ lớn nhất.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BC⊥\left ( { SAB } \right ) $$ \Rightarrow \widehat { \left ( { SC,\left ( { SAB } \right ) } \right ) }= \widehat { CSB }=30 ^ { 0 } $.
Xét $ \Delta SBC $ vuông tại $ B $, ta có $ tan \widehat { CSB }=tan30 ^ { 0 } =\frac { BC } { SB } $ $ \Rightarrow SB=a\sqrt[] { 3 } $.
Xét $ \Delta SAB $ vuông tại $ A $, ta có $ SB ^ { 2 } =SA ^ { 2 } +AB ^ { 2 } $ $ \Rightarrow SA=a\sqrt[] { 2 } $.
Mặt khác $ \left \{ \begin{array}{l} BM⊥SH \\ BM⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SAH } \right ) $$ \Rightarrow BM⊥AH\Rightarrow BH⊥AH $ nên $ \Delta ABH $ vuông tại $ H $.
Gọi $ x,\,y $ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác $ \Delta ABH $ có cạnh huyền là $ a $, $ 0 < x < a $ và $ 0 < y < a $. Diện tích $ \Delta ABH $ là $ S=\frac { 1 } { 2 }xy $. Ta có $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $.
$ S_{ ABH } $ lớn nhất khi và chỉ khi $ x ^ { 2 } y ^ { 2 } =x ^ { 2 } \left ( { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) $ đạt giá trị lớn nhất.
Suy ra $ S_{ ABH } =\frac { a ^ { 2 } } { 4 } $ lớn nhất khi $ x=y=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy $ V_{ S.ABH } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 12 } $ lớn nhất.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BC⊥\left ( { SAB } \right ) $$ \Rightarrow \widehat { \left ( { SC,\left ( { SAB } \right ) } \right ) }= \widehat { CSB }=30 ^ { 0 } $.
Xét $ \Delta SBC $ vuông tại $ B $, ta có $ tan \widehat { CSB }=tan30 ^ { 0 } =\frac { BC } { SB } $ $ \Rightarrow SB=a\sqrt[] { 3 } $.
Xét $ \Delta SAB $ vuông tại $ A $, ta có $ SB ^ { 2 } =SA ^ { 2 } +AB ^ { 2 } $ $ \Rightarrow SA=a\sqrt[] { 2 } $.
Mặt khác $ \left \{ \begin{array}{l} BM⊥SH \\ BM⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SAH } \right ) $$ \Rightarrow BM⊥AH\Rightarrow BH⊥AH $ nên $ \Delta ABH $ vuông tại $ H $.
Gọi $ x,\,y $ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác $ \Delta ABH $ có cạnh huyền là $ a $, $ 0 < x < a $ và $ 0 < y < a $. Diện tích $ \Delta ABH $ là $ S=\frac { 1 } { 2 }xy $. Ta có $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $.
$ S_{ ABH } $ lớn nhất khi và chỉ khi $ x ^ { 2 } y ^ { 2 } =x ^ { 2 } \left ( { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) $ đạt giá trị lớn nhất.
Suy ra $ S_{ ABH } =\frac { a ^ { 2 } } { 4 } $ lớn nhất khi $ x=y=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy $ V_{ S.ABH } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 12 } $ lớn nhất.