Bài tập nâng cao · Bài 94
Dạng 4. Min – max thể tích khối đa diện
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 94
Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ AB=a $, $ BC=a\sqrt[] { 3 } $, $ \widehat { ABC }=60 ^ { 0 } $. Hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là một điểm thuộc cạnh $ BC $. Góc giữa đường thẳng $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 45 ^ { 0 } $. Thể tích khối chóp $ S.ABC $ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }BA.BC.sin60 ^ { 0 } =\frac { 3 } { 4 }a ^ { 2 } $.
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $.
Theo bài $ \widehat { \left ( { SA,\left ( { ABC } \right ) } \right ) }= \widehat { SAH }=45 ^ { 0 } $,suy ra tam giác $ SAH $ vuông cân tại $ H $. Suy ra $ SH=AH $.
Để $ V_{ S.ABC } $ nhỏ nhất thì $ SH=AH $ nhỏ nhất. Suy ra $ AH⊥BC $.
Xét $ \Delta ABH $ vuông tại $ H $, ta có $ sin60 ^ { 0 } =\frac { AH } { AB }\Rightarrow AH_{ min } =SH_{ min } =\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 3 } { 4 }a ^ { 2 } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 8 } $.
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $.
Theo bài $ \widehat { \left ( { SA,\left ( { ABC } \right ) } \right ) }= \widehat { SAH }=45 ^ { 0 } $,suy ra tam giác $ SAH $ vuông cân tại $ H $. Suy ra $ SH=AH $.
Để $ V_{ S.ABC } $ nhỏ nhất thì $ SH=AH $ nhỏ nhất. Suy ra $ AH⊥BC $.
Xét $ \Delta ABH $ vuông tại $ H $, ta có $ sin60 ^ { 0 } =\frac { AH } { AB }\Rightarrow AH_{ min } =SH_{ min } =\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 3 } { 4 }a ^ { 2 } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 8 } $.