Bài tập nâng cao · Bài 93
Dạng 4. Min – max thể tích khối đa diện
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 93
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, cạnh bên $ SA=a $ và vuông góc với mặt đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $. Trên $ SB $, $ SD $ lần lượt lấy hai điểm $ M $, $ N $ sao cho $ \frac { SM } { SB }=m>0 $, $ \frac { SN } { SD }=n>0 $. Tính thể tích lớn nhất $ V_{ max } $ của khối chóp $ S.AMN $ biết $ 2m ^ { 2 } +3n ^ { 2 } =1 $.
Xem lời giải
Lời giải
Theo tính chất tỉ số thể tích: $ \frac { V_{ S.AMN } } { V_{ S.ABD } }=\frac { SM } { SB }\cdot \frac { SN } { SD }=m.n $.
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương: $ 2m ^ { 2 } $ và $ 3n ^ { 2 } $, ta được: $ 2m ^ { 2 } +3n ^ { 2 } \geq 2\sqrt[] { 2m ^ { 2 } .3n ^ { 2 } } $
$ \Rightarrow 1\geq 2\sqrt[] { 6 }.mn\Rightarrow mn\leq \frac { \sqrt[] { 6 } } { 12 } $.
$ \Rightarrow V_{ S.AMN } \leq \frac { \sqrt[] { 6 } } { 12 }V_{ S.ABD } $, mà $ V_{ S.ABD } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABD } =\frac { a } { 3 }\cdot \frac { a ^ { 2 } } { 2 }=\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $.
$ \Rightarrow V_{ S.AMN } \leq \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 6 } } { 72 } $.
$ V_{ S.AMN } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 6 } } { 72 }\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2m ^ { 2 } +3n ^ { 2 } =1 \\ 2m ^ { 2 } =3n ^ { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2m ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 } \\ 3n ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 } \\ n ^ { 2 } =\frac { 1 } { 6 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m=\frac { 1 } { 2 } \\ n=\frac { 1 } { \sqrt[] { 6 } } \end{array} \right. $.
Vậy $ V_{ max } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 6 } } { 72 } $.