Bài tập nâng cao · Bài 92
Dạng 4. Min – max thể tích khối đa diện
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 92
Cho $ x $, $ y $là các số thực dương. Xét khối chóp $ S.ABC $ có $ SA=x $, $ BC=y $, các cạnh còn lại đều bẳng 1. Khi $ x $, $ y $ thay đổi, thể tích khối chóp $ S.ABC $ có giá trị lớn nhất bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ BC $. Vì tam giác $ SAB $, $ SAC $ lần lượt cân tại $ B $ và $ C $ nên $ BM⊥SA,\,CM⊥SA $. Suy ra, $ SA⊥\left ( { BMC } \right ) $.
Ta có: $ V_{ S.MBC } =V_{ A.MBC } $ nên $ V_{ S.ABC } =V_{ S.MBC } +V_{ A.MBC } =2V_{ S.MBC } =\frac { 2 } { 3 }.SM.S_{ \Delta MBC } $.
Ta có: $ BM=CM=\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } $, tam giác $ BCM $cân tại $ M $ nên $ MN=\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } $.
$ V_{ S.ABC } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { x } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }y\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \frac { x ^ { 2 } } { 4 }.\frac { y ^ { 2 } } { 4 }\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$ \frac { x ^ { 2 } } { 4 }+\frac { y ^ { 2 } } { 4 }+\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right )\geq 3\sqrt[3] { \frac { x ^ { 2 } } { 4 }.\frac { y ^ { 2 } } { 4 }.\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $
$ \Rightarrow \frac { x ^ { 2 } } { 4 }.\frac { y ^ { 2 } } { 4 }\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right )\leq \frac { 1 } { 27 } $ dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } } $.
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ lớn nhất bằng $ V_{ S.ABC } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { \sqrt[] { 27 } }=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 27 } $
Ta có: $ V_{ S.MBC } =V_{ A.MBC } $ nên $ V_{ S.ABC } =V_{ S.MBC } +V_{ A.MBC } =2V_{ S.MBC } =\frac { 2 } { 3 }.SM.S_{ \Delta MBC } $.
Ta có: $ BM=CM=\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } $, tam giác $ BCM $cân tại $ M $ nên $ MN=\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } $.
$ V_{ S.ABC } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { x } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }y\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \frac { x ^ { 2 } } { 4 }.\frac { y ^ { 2 } } { 4 }\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$ \frac { x ^ { 2 } } { 4 }+\frac { y ^ { 2 } } { 4 }+\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right )\geq 3\sqrt[3] { \frac { x ^ { 2 } } { 4 }.\frac { y ^ { 2 } } { 4 }.\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $
$ \Rightarrow \frac { x ^ { 2 } } { 4 }.\frac { y ^ { 2 } } { 4 }\left ( { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }-\frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \right )\leq \frac { 1 } { 27 } $ dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } } $.
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ lớn nhất bằng $ V_{ S.ABC } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { \sqrt[] { 27 } }=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 27 } $