Cho hình chóp $ S.ABCD $có $ SA=SB=SC=AB=BC=CD=DA=1. $ Gọi $ G_{ 1 } \, $, $ \,G_{ 2 } $, $ G_{ 3 } \, $, $ G_{ 4 } \, $lần lươt là trọng tâm các tam giác $ SAB\, $, $ SBC\, $, $ SCD\, $, $ SDA\, $. $ AC $ cắt $ BD $ tại $ O $. Khi thể tích khối $ S.ABCD $ lớn nhất thì thể tích khối chóp $ O.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } G_{ 4 } $ bằng

Question

Dạng 4. Min – max thể tích khối đa diện Cho hình chóp $ S.ABCD $có $ SA=SB=SC=AB=BC=CD=DA=1. $ Gọi $ G_{ 1 } \, $, $ \,G_{ 2 } $, $ G_{ 3 } \, $, $ G_{ 4 } \, $lần lươt là trọng tâm các tam giác $ SAB\, $, $ SBC\, $, $ SCD\, $, $ SDA\, $. $ AC $ cắt $ BD $ tại $ O $. Khi thể tích khối $ S.ABCD $ lớn nhất thì thể tích khối chóp $ O.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } G_{ 4 } $ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 4/image16.png] Theo giả thiết ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AC⊥BD \ AC⊥SO \end{array} ight.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} CD ^ { 2 } =OC ^ { 2 } +OD ^ { 2 } \ SC ^ { 2 } =OC ^ { 2 } +SO ^ { 2 } \end{array} ight. $ $ \Rightarrow SO=OD=\frac { 1 } { 2 }BD\Rightarrow \Delta SBD $ vuông tại $ S $. Lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} AC⊥BD \ AC⊥SO \end{array} ight.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} CD ^ { 2 } =OC ^ { 2 } +OD ^ { 2 } \ SC ^ { 2 } =OC ^ { 2 } +SO ^ { 2 } \end{array} ight. $ Dựng $ SH⊥BD $ tại $ H\Rightarrow AC⊥SH\Rightarrow SH⊥\left ( { ABCD } ight ). $ Đặt $ SD=x\,\left ( { x>0 } ight ). $ Ta có $ BD=\sqrt[] { SB ^ { 2 } +SD ^ { 2 } }=\sqrt[] { 1+x ^ { 2 } }\Rightarrow OD=\frac { \sqrt[] { 1+x ^ { 2 } } } { 2 }. $ $ \Rightarrow OC=\sqrt[] { 1-\frac { 1+x ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 3-x ^ { 2 } } } { 2 }\Rightarrow AC=\sqrt[] { 3-x ^ { 2 } }\,,\,\left ( { 0 < x < \sqrt[] { 3 } } ight ) \ \Leftrightarrow S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 2 }AC\cdot BD=\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 1+x ^ { 2 } }\cdot \sqrt[] { 3-x ^ { 2 } }. $ Tam giác $ SBD $ vuông tại $ S $ có đường cao $ SH=\frac { SB\,.\,SD } { BD }=\frac { x } { \sqrt[] { 1+x ^ { 2 } } }. $ Suy ra $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }\cdot SH\cdot S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 6 }x\cdot \sqrt[] { 3-x ^ { 2 } }\leq \frac { 1 } { 6 }\cdot \frac { x ^ { 2 } +3-x ^ { 2 } } { 2 }=\frac { 1 } { 4 }. $ Dấu “$ = $” xảy ra $ \Leftrightarrow x=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $ hay $ maxV_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 4 }. $ Khi $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 4 } $ ta có: $ S_{ G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } G_{ 4 } } =\frac { 2 } { 9 }S_{ ABCD } \,,\,d\left ( { O,\left ( { G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } } ight ) } ight )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { S,\left ( { ABCD } ight ) } ight )=\frac { 1 } { 3 }SH. $ $ \Rightarrow V_{ O.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } G_{ 4 } } =\frac { 2 } { 27 }V_{ S.ABCD } =\frac { 2 } { 27 }\cdot \frac { 1 } { 4 }=\frac { 1 } { 54 }. $ Vậy khi thể tích khối chóp $ S.ABCD $ lớn nhất thì $ V_{ O.G_{ 1 } G_{ 2 } G_{ 3 } G_{ 4 } } =\frac { 1 } { 54 }. $

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 91