Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 90

Từ giả thiết suy ra tam giác $ BCD $ đều cạnh a. Gọi $ Q,I $ lần lượt là trung điểm của $ CD,C'D' $ thì $ DC⊥BQ;DC⊥IQ $$ \Rightarrow \left ( { DCC'D',ABCD } \right )=∠IQB=60 ^ { 0 } $. Kẻ $ IH⊥BQ $ thì $ IH $là đường cao của lăng trụ và $ IH=IQsin60 ^ { 0 } =\sqrt[] { 3 }a $ $ \Rightarrow V_{ ABCD.A'B'C'D' } =S_{ ABCD } .IH=\frac { \sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } } { 2 }.\sqrt[] { 3 }a=\frac { 3a ^ { 3 } } { 2 }. $

Ta có $ V_{ MNPKA' } =V_{ NKMA' } +V_{ NKMP } $.
Gọi $ Q $ là trung điểm của $ CD $. Suy ra $ KMQP $ là hình bình hành. Vậy $ S_{ \Delta KMP } =S_{ \Delta PMQ } $.
Lại có $ d\left ( { N;\left ( { KMP } \right ) } \right )=d\left ( { D';\left ( { PMQ } \right ) } \right ) $ nên $ V_{ N.KMP } =V_{ D'.PMQ } =V_{ M.PQD' } $.
Ta có: $ S_{ \vartriangle PQD' } =S_{ CDC'D' } -S_{ \vartriangle PCQ } -S_{ \vartriangle D'QD } -S_{ \vartriangle D'C'P } =2a.a-\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }a.a-\frac { 1 } { 2 }.2a.\frac { 1 } { 2 }a-\frac { 1 } { 2 }a.a=\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } $.
Do đó: $ \frac { V_{ M.PQD' } } { V_{ ABCD.A'B'C'D' } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle PQD' } .d(M,(DCC'D')) } { S_{ DCC'D' } .d(A',(DCC'D')) }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle PQD' } } { S_{ DCC'D' } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } } { 2a.a }=\frac { 1 } { 8 } $
$ \Rightarrow V_{ N.KMP } =\frac { 1 } { 8 }V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\frac { 1 } { 8 }.\frac { 3a ^ { 3 } } { 2 }=\frac { 3a ^ { 3 } } { 16 }. $
Ta có: $ S_{ \vartriangle KMA' } =S_{ \vartriangle PQD' } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } $;
$ \frac { V_{ N.KMA' } } { V_{ ABCD.A'B'C'D' } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle KMA' } .d(N,(ABB'A')) } { S_{ ABB'A' } .d(D',(ABB'A')) }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle KMA' } } { S_{ ABB'A' } }.\frac { d(N,(ABB'A')) } { d(D',(ABB'A')) }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } } { 2a.a }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 16 } $$ \Rightarrow V_{ N.KMA' } =\frac { 1 } { 16 }V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\frac { 1 } { 16 }.\frac { 3a ^ { 3 } } { 2 }=\frac { 3a ^ { 3 } } { 32 }. $
Vậy ta có $ V_{ MNPKA' } =V_{ NKMA' } +V_{ NKMP } =\frac { 9a ^ { 3 } } { 32 } $.