Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 89

Ta có: $ MN $//$ BC $$ \Rightarrow MN $//$ B'C' $ và $ MN=BC=B'C' $, suy ra tứ giác $ MNB'C' $ là hình bình hành.
Gọi $ J=MB'∩NC' $ suy ra $ J $ là tâm hình bình hành và $ J\in AA' $.
$ V_{ AMNA'B'C' } =V_{ A.MNB'C' } +V_{ A'.MNB'C' } $
Do $ IJ $ là đường trung bình của tam giác $ MBB' $ nên $ IJ=\frac { 1 } { 2 }BB'=a\Rightarrow A'J=\frac { 1 } { 2 }a $.
+)$ B'J=C'J=\sqrt[] { (A'B')^2 +(A'J)^2 }=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } +\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 2 } $, $ B'C'=2a\sqrt[] { 2 } $, đặt $ p=\frac { JB'+JC'+B'C' } { 2 } $
+) $ S_{ \Delta JB'C' } =\sqrt[] { p\left ( { p-JB' } \right )\left ( { p-JC' } \right )\left ( { p-B'C' } \right ) }=\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } } { 2 } $$ \Rightarrow S_{ MNB'C' } =4S_{ \Delta JB'C' } =6a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } $.
+) $ d\left ( { A';\left ( { JB'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta JB'C' } =3V_{ A'.JB'C' } =A'J.S_{ \Delta A'B'C' } $$ \Rightarrow d\left ( { A';\left ( { JB'C' } \right ) } \right )=\frac { A'J.S_{ \Delta A'B'C' } } { S_{ \Delta JB'C' } } $$ =\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $.
+) $ V_{ A.JB'C' } =V_{ A.A'B'C' } -V_{ J.A'B'C' } =\frac { 1 } { 3 }AJ.S_{ \Delta A'B'C' } =a ^ { 3 } $.
+) $ d\left ( { A;\left ( { JB'C' } \right ) } \right ).S_{ \Delta JB'C' } =3V_{ A.JB'C' } =3a ^ { 3 } $$ \Rightarrow d\left ( { A;\left ( { JB'C' } \right ) } \right )=\frac { 3a ^ { 3 } } { S_{ \Delta JB'C' } }=a\sqrt[] { 2 } $.
Vậy $ V_{ AMNA'B'C' } =V_{ A.MNB'C' } +V_{ A'.MNB'C' } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { d\left ( { A';\left ( { JB'C' } \right ) } \right )+d\left ( { A;\left ( { JB'C' } \right ) } \right ) } \right ).S_{ MNB'C' } $
$ =\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 }+a\sqrt[] { 2 } } \right ).6a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 }=\frac { 16a ^ { 3 } } { 3 } $.