Bài tập nâng cao · Bài 88
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 88
Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=SB=SC=3a $, tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, $ AB=a $ và góc $ CAB=60 ^ { { \rm{ o } } } $. Gọi $ E,F $ lần lượt trung điểm của $ AC $ và $ BC $. Trên hai cạnh $ SA,SB $ lấy các điểm $ P $, $ Q $ tương ứng sao $ PA=2PS $, $ SQ=3QB $. Tính thể tích $ V $ của khối tứ diện $ EFQP $?
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ \Delta ABC $ vuông tại $ B $: $ AC=\frac { AB } { cos \widehat { BAC } }=\frac { a } { cos60 ^ { { \rm{ o } } } }=2a $; $ BC=\sqrt[] { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 3 } $.
$ SA=SB=SC $ ⇒ chân đường cao hạ từ $ S $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ $ SE⊥\left ( { ABC } \right ) $.
Xét $ \Delta SAE $ vuông tại $ E $: $ SE=\sqrt[] { (SA)^2 -(AE)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 2 }a $.
$ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle ABC } .SE=\frac { 1 } { 3 }.\left ( { \frac { 1 } { 2 }.a.a\sqrt[] { 3 } } \right ).2\sqrt[] { 2 }a=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }a ^ { 3 } $.
Thiết diện qua $ E,F,Q $ với hình chóp $ S.ABC $ là hình thang $ EFQK $: $ EF//QK $.
$ \frac { V_{ S.KQE } } { V_{ S.ABE } }=\frac { SK } { SA }.\frac { SQ } { SB }.\frac { SE } { SE }=\frac { 3 } { 4 }.\frac { 3 } { 4 }.1=\frac { 9 } { 16 } $ ⇒ $ V_{ S.KQE } =\frac { 9 } { 16 }.V_{ S.ABE } =\frac { 9 } { 16 }.\frac { V_{ S.ABC } } { 2 }=\frac { 9 } { 16 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2.3 }a ^ { 3 } =\frac { 3\sqrt[] { 6 } } { 32 }a ^ { 3 } $.
$ SP=\frac { SA } { 3 } $; $ SK=\frac { 3SA } { 4 } $ ⇒ $ PK=SK-SP=\frac { 5 } { 12 }SA=\frac { 5 } { 9 }SK $.
$ V_{ P.KQE } =\frac { PK } { SK }.V_{ S.KQE } =\frac { 5 } { 9 }.V_{ S.KQE } =\frac { 5 } { 9 }.\frac { 3\sqrt[] { 6 } } { 32 }a ^ { 3 } =\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 96 }a ^ { 3 } $.
$ \frac { S_{ \Delta EFQ } } { S_{ \Delta KQE } }=\frac { EF } { KQ }=\frac { \frac { a } { 2 } } { \frac { 3a } { 4 } }=\frac { 2 } { 3 } $
$ \frac { V_{ P.EFQ } } { V_{ P.KQE } }=\frac { S_{ \Delta EFQ } } { S_{ \Delta KQE } }=\frac { 2 } { 3 } $ ⇒ $ V_{ P.EFQ } =\frac { 2 } { 3 }.V_{ P.KQE } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 96 }a ^ { 3 } =\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 144 }a ^ { 3 } $.
$ SA=SB=SC $ ⇒ chân đường cao hạ từ $ S $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ $ SE⊥\left ( { ABC } \right ) $.
Xét $ \Delta SAE $ vuông tại $ E $: $ SE=\sqrt[] { (SA)^2 -(AE)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 2 }a $.
$ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle ABC } .SE=\frac { 1 } { 3 }.\left ( { \frac { 1 } { 2 }.a.a\sqrt[] { 3 } } \right ).2\sqrt[] { 2 }a=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }a ^ { 3 } $.
Thiết diện qua $ E,F,Q $ với hình chóp $ S.ABC $ là hình thang $ EFQK $: $ EF//QK $.
$ \frac { V_{ S.KQE } } { V_{ S.ABE } }=\frac { SK } { SA }.\frac { SQ } { SB }.\frac { SE } { SE }=\frac { 3 } { 4 }.\frac { 3 } { 4 }.1=\frac { 9 } { 16 } $ ⇒ $ V_{ S.KQE } =\frac { 9 } { 16 }.V_{ S.ABE } =\frac { 9 } { 16 }.\frac { V_{ S.ABC } } { 2 }=\frac { 9 } { 16 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2.3 }a ^ { 3 } =\frac { 3\sqrt[] { 6 } } { 32 }a ^ { 3 } $.
$ SP=\frac { SA } { 3 } $; $ SK=\frac { 3SA } { 4 } $ ⇒ $ PK=SK-SP=\frac { 5 } { 12 }SA=\frac { 5 } { 9 }SK $.
$ V_{ P.KQE } =\frac { PK } { SK }.V_{ S.KQE } =\frac { 5 } { 9 }.V_{ S.KQE } =\frac { 5 } { 9 }.\frac { 3\sqrt[] { 6 } } { 32 }a ^ { 3 } =\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 96 }a ^ { 3 } $.
$ \frac { S_{ \Delta EFQ } } { S_{ \Delta KQE } }=\frac { EF } { KQ }=\frac { \frac { a } { 2 } } { \frac { 3a } { 4 } }=\frac { 2 } { 3 } $
$ \frac { V_{ P.EFQ } } { V_{ P.KQE } }=\frac { S_{ \Delta EFQ } } { S_{ \Delta KQE } }=\frac { 2 } { 3 } $ ⇒ $ V_{ P.EFQ } =\frac { 2 } { 3 }.V_{ P.KQE } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 96 }a ^ { 3 } =\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 144 }a ^ { 3 } $.