Bài tập nâng cao · Bài 87
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 87
Cho hình vuông $ ABCD $ và $ ABEF $ có cạnh bằng $ 2 $, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi $ T $ là điểm đối xứng với $ B $ qua đường thẳng $ DE $. Thể tích của khối đa diện $ ABCDTEF $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Dựng hình lập phương $ ABCD.FEC'D' $ như hình vẽ.
$ BDD'E $ là hình chữ nhật: $ BD=2\sqrt[] { 2 } $; $ ED=2\sqrt[] { 3 } $
$ BT∩ED'≡I $; $ \frac { EI } { ED' }=\frac { EI } { BD }=\frac { EK } { DK }=\frac { (EB)^2 } { (DB)^2 }=\frac { 2 ^ { 2 } } { \left ( { 2\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2 } $ ⇒ $ I $ là trung điểm của $ ED' $
$ V_{ ABCDTEF } =V_{ TABCD } +V_{ TABEF } +V_{ TADF } +V_{ TBCE } $
+ Tính $ V_{ TABCD } $: $ \frac { IK } { BK }=\frac { EI } { BD }=\frac { 1 } { 2 } $ ⇔ $ \frac { IB } { BK }=\frac { 3 } { 2 } $ ⇒ $ \frac { IB } { TB }=\frac { 3 } { 4 } $
$ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\frac { TB } { IB }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.2=\frac { 8 } { 3 } $
$ V_{ T.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABCD } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.2 ^ { 2 } .\frac { 8 } { 3 }=\frac { 32 } { 9 } $
+ Tính $ V_{ TABEF } $: $ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABEF } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { ABEF } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.1=\frac { 4 } { 3 } $
$ V_{ T.ABEF } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABEF } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABEF } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.2 ^ { 2 } .\frac { 4 } { 3 }=\frac { 16 } { 9 } $
+ Tính $ V_{ TADF } $: $ \frac { IT } { IP }=\frac { IT } { IB }=\frac { 1 } { 3 } $ ⇔ $ \frac { TP } { IP }=\frac { 2 } { 3 } $
$ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ADF } \right ) } \right )=\frac { TP } { IP }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { ADF } \right ) } \right )=\frac { 2 } { 3 }.1=\frac { 2 } { 3 } $
$ V_{ T.ADF } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle ADF } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ADF } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 ^ { 2 } } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 4 } { 9 } $
+ Tính $ V_{ TBCE } $: $ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { BCE } \right ) } \right )=\frac { TB } { IB }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { BCE } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.1=\frac { 4 } { 3 } $
$ V_{ T.BCE } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle BCE } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { BCE } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 ^ { 2 } } { 2 }.\frac { 4 } { 3 }=\frac { 8 } { 9 } $
Vậy: $ V_{ ABCDTEF } =V_{ TABCD } +V_{ TABEF } +V_{ TADF } +V_{ TBCE } =\frac { 32 } { 9 }+\frac { 16 } { 9 }+\frac { 4 } { 9 }+\frac { 8 } { 9 }=\frac { 20 } { 3 } $.
$ BDD'E $ là hình chữ nhật: $ BD=2\sqrt[] { 2 } $; $ ED=2\sqrt[] { 3 } $
$ BT∩ED'≡I $; $ \frac { EI } { ED' }=\frac { EI } { BD }=\frac { EK } { DK }=\frac { (EB)^2 } { (DB)^2 }=\frac { 2 ^ { 2 } } { \left ( { 2\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2 } $ ⇒ $ I $ là trung điểm của $ ED' $
$ V_{ ABCDTEF } =V_{ TABCD } +V_{ TABEF } +V_{ TADF } +V_{ TBCE } $
+ Tính $ V_{ TABCD } $: $ \frac { IK } { BK }=\frac { EI } { BD }=\frac { 1 } { 2 } $ ⇔ $ \frac { IB } { BK }=\frac { 3 } { 2 } $ ⇒ $ \frac { IB } { TB }=\frac { 3 } { 4 } $
$ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\frac { TB } { IB }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.2=\frac { 8 } { 3 } $
$ V_{ T.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABCD } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.2 ^ { 2 } .\frac { 8 } { 3 }=\frac { 32 } { 9 } $
+ Tính $ V_{ TABEF } $: $ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABEF } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { ABEF } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.1=\frac { 4 } { 3 } $
$ V_{ T.ABEF } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABEF } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ABEF } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.2 ^ { 2 } .\frac { 4 } { 3 }=\frac { 16 } { 9 } $
+ Tính $ V_{ TADF } $: $ \frac { IT } { IP }=\frac { IT } { IB }=\frac { 1 } { 3 } $ ⇔ $ \frac { TP } { IP }=\frac { 2 } { 3 } $
$ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ADF } \right ) } \right )=\frac { TP } { IP }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { ADF } \right ) } \right )=\frac { 2 } { 3 }.1=\frac { 2 } { 3 } $
$ V_{ T.ADF } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle ADF } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { ADF } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 ^ { 2 } } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 4 } { 9 } $
+ Tính $ V_{ TBCE } $: $ { \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { BCE } \right ) } \right )=\frac { TB } { IB }.{ \rm{ d } }\left ( { I;\left ( { BCE } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.1=\frac { 4 } { 3 } $
$ V_{ T.BCE } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ \vartriangle BCE } .{ \rm{ d } }\left ( { T;\left ( { BCE } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 ^ { 2 } } { 2 }.\frac { 4 } { 3 }=\frac { 8 } { 9 } $
Vậy: $ V_{ ABCDTEF } =V_{ TABCD } +V_{ TABEF } +V_{ TADF } +V_{ TBCE } =\frac { 32 } { 9 }+\frac { 16 } { 9 }+\frac { 4 } { 9 }+\frac { 8 } { 9 }=\frac { 20 } { 3 } $.