Cho hình hộp $ ABCD.A'B'C'D' $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua hai điểm $ C' $, $ G $ và song song với đường thẳng $ BD $, chia khối hộp thành hai phần có thể tích là $ V_{ 1 } $, $ V_{ 2 } $ $ \left ( { V_{ 1 }

Question

Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác Cho hình hộp $ ABCD.A'B'C'D' $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua hai điểm $ C' $, $ G $ và song song với đường thẳng $ BD $, chia khối hộp thành hai phần có thể tích là $ V_{ 1 } $, $ V_{ 2 } $ $ \left ( { V_{ 1 } < V_{ 2 } } \right ) $. Tỉ số $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } } $ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 3/image1306.png] Đặt thể tích khối hộp là $ V $, chiều cao $ h $. Từ $ G $ kẻ đường thẳng song song với $ BD $ cắt $ BC $, $ BA $, $ DA $, $ DC $ lần lượt tại $ E $, $ Q $, $ P $, $ F $. Nối $ C $ với $ E $, $ F $ lần lượt cắt các đường $ BB' $ và $ DD' $ tại $ I $ và $ J $. Thiết diện chia hình hộp là $ C'IQPJ $. Ta có: $ \frac { S_{ AQP } } { S_{ ABCD } }=\frac { S_{ AQP } } { 2S_{ ABD } }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { AQ } { AB }.\frac { AP } { AD }=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { \frac { AG } { AO } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }.\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 2 } { 9 } $$ \Rightarrow S_{ BCDPQ } =\frac { 7 } { 9 }S_{ ABCD } $. $ \frac { S_{ CBD } } { S_{ CEF } }=\frac { CB } { CE }.\frac { CD } { CF }=\left ( { \frac { CO } { CG } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { \frac { 1 } { 2 }CA } { \frac { 2 } { 3 }CA } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { 3 } { 4 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 9 } { 16 } $$ \Rightarrow S_{ CEF } =\frac { 16 } { 9 }S_{ CBD } =\frac { 16 } { 9 }.\frac { 1 } { 2 }S_{ ABCD } =\frac { 8 } { 9 }.S_{ ABCD } $ Suy ra: $ h.S_{ CEF } =\frac { 8 } { 9 }.h.S_{ ABCD } $$ \Leftrightarrow 3V_{ CEF } =\frac { 8 } { 9 }V $$ \Leftrightarrow V_{ C'.CEF } =\frac { 8 } { 27 }V $ $ S_{ EBQ } +S_{ PDF } =S_{ CEF } -S_{ CBQPD } =\frac { 8 } { 9 }.S_{ ABCD } -\frac { 7 } { 9 }S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 9 }S_{ ABCD } $. $ \Rightarrow \frac { 1 } { 4 }h\left ( { S_{ EBQ } +S_{ PDF } } \right )=\frac { 1 } { 4 }h.\frac { 1 } { 9 }S_{ ABCD } $$ \Leftrightarrow \left ( { \frac { 1 } { 4 }h.S_{ EBQ } +\frac { 1 } { 4 }h.S_{ PDF } } \right )=\frac { 1 } { 36 }h.S_{ ABCD } $ $ \Leftrightarrow \left ( { 3V_{ I.EBQ } +3V_{ J.PDF } } \right )=\frac { 1 } { 36 }V $$ \Leftrightarrow V_{ I.EBQ } +V_{ J.PDF } =\frac { 1 } { 108 }V $. Suy ra $ V_{ 1 } =V_{ C'CBQPD } =V_{ C'.CEF } -\left ( { V_{ I.EBQ } +V_{ J.PDF } } \right )=\frac { 8 } { 27 }V-\frac { 1 } { 108 }V=\frac { 31 } { 108 }V $. Vậy $ V_{ 2 } =V-\frac { 31 } { 108 }V=\frac { 77 } { 108 }V $$ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 31 } { 77 } $.

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 86