Bài tập nâng cao · Bài 85
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 85
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, $ SA $ vuông góc với đáy, côsin góc hợp bởi $ SD $ và mặt phẳng đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $. Gọi $ E $; $ F $ lần lượt là hình chiếu của $ A $ lên $ SB $; $ SD $. Mặt phẳng $ \left ( { AEF } \right ) $ chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích phần khối chóp không chứa đỉnh $ S $:
Xem lời giải
Lời giải
Dễ thấy $ \Delta SAB=\Delta SAD $$ \Rightarrow $$ AE=AF $$ \Rightarrow $$ \frac { SE } { SA }=\frac { SF } { SB } $$ \Rightarrow $$ EF//BD $
Do $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ AD $ là hình chiếu của $ SD $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $
$ \Rightarrow $$ cos \widehat { \left ( { SD\,;\,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }=cos \widehat { SDA }=\frac { AD } { SD }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $$ \Rightarrow $$ SD=AD\sqrt[] { 3 }=a\sqrt[] { 3 } $
$ \Rightarrow $$ SA=\sqrt[] { (SD)^2 -(AD)^2 }=\sqrt[] { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 }=AC $$ \Rightarrow $Tam giác $ SAC $ vuông cân tại $ A $
Trong $ \left ( { ABCD } \right ) $: gọi $ O=AC\cap BD $
Trong $ \left ( { SBD } \right ) $: gọi $ I=SO\cap EF $
Trong $ \left ( { SAC } \right ) $: gọi $ M=SC\cap AI $
Lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} SA⊥BC \\ AB⊥BC \end{array} \right. $$ \Rightarrow $$ BC⊥\left ( { SAB } \right ) $$ \Rightarrow $$ BC⊥AE $
Mà $ AE⊥SB $$ \Rightarrow $$ AE⊥\left ( { SBC } \right ) $$ \Rightarrow $$ AE⊥SC $ $ \left ( { 1 } \right ) $
$ \left \{ \begin{array}{l} SA⊥CD \\ AD⊥CD \end{array} \right. $$ \Rightarrow $$ CD⊥\left ( { SAD } \right ) $$ \Rightarrow $$ CD⊥AF $
Mà $ AF⊥SD $$ \Rightarrow $$ AF⊥\left ( { SCD } \right ) $$ \Rightarrow $$ AF⊥SC $ $ \left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $$ \Rightarrow $$ SC⊥\left ( { AEF } \right ) $$ \Rightarrow $$ SC⊥AM $$ \Rightarrow $$ M $ là trung điểm $ SC $$ \Rightarrow $$ I $ là trọng tâm tam giác $ SAC $$ \Rightarrow $$ \frac { SE } { SA }=\frac { SF } { SB }=\frac { 2 } { 3 } $$ \Rightarrow $$ SE=SF=\frac { 2\sqrt[] { 3 }a } { 3 } $
Ta có: $ \frac { V_{ SAEM } } { V_{ SABC } }=\frac { SA } { SA }.\frac { SE } { SB }.\frac { SM } { SC }=\frac { 1 } { 3 } $$ \Rightarrow $$ V_{ SAEM } =\frac { 1 } { 3 }V_{ SABC } =\frac { 1 } { 6 }V_{ S.ABCD } $
$ \frac { V_{ SAMF } } { V_{ SACD } }=\frac { SA } { SA }.\frac { SM } { SC }.\frac { SF } { SD }=\frac { 1 } { 3 } $$ \Rightarrow $$ V_{ SAMF } =\frac { 1 } { 3 }V_{ SACD } =\frac { 1 } { 6 }V_{ S.ABCD } $
$ \Rightarrow $$ V_{ S.AEMF } =V_{ SAEM } +V_{ SAMF } =\frac { 1 } { 3 }V_{ S.ABCD } $
$ \Rightarrow $$ V=V_{ S.ABCD } -V_{ S.AEMF } =\frac { 2 } { 3 }V_{ S.ABCD } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABCD } =\frac { 2\sqrt[] { 2 }a ^ { 3 } } { 9 } $.